Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14609 / 8992
↖ ↑ ↗
← N 62.754726°
W 19.500733°		 ← 559.27 m → N 62.754726°
W 19.489746°		 →
↑
559.31 m
↓
↑
559.31 m
↓
N 62.749696°
W 19.500733°		 ← 559.36 m →
312 830 m²		 N 62.749696°
W 19.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445846557617188 y=0.274429321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445846557617188 × 215)
    floor (0.445846557617188 × 32768)
    floor (14609.5)     		tx = 14609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274429321289062 × 215)
    floor (0.274429321289062 × 32768)
    floor (8992.5)     		ty = 8992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14609 / 8992 ti = "15/14609/8992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14609/8992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14609 ÷ 215
    14609 ÷ 32768     		x = 0.445831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8992 ÷ 215
    8992 ÷ 32768     		y = 0.2744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.10833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34035199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34035199} λ = -0.34035199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41739824796582))-π/2
    2×atan(4.12637066891391)-π/2
    2×1.3330364576966-π/2
    2.6660729153932-1.57079632675     		φ = 1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34035199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.500733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14609 KachelY 8992 -0.34035199 1.09527659 -19.500733 62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 14610 KachelY 8992 -0.34016024 1.09527659 -19.489746 62.754726
    Unten links KachelX 14609 KachelY + 1 8993 -0.34035199 1.09518880 -19.500733 62.749696
    Unten rechts KachelX + 1 14610 KachelY + 1 8993 -0.34016024 1.09518880 -19.489746 62.749696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09527659-1.09518880) × R
    8.7790000000032e-05 × 6371000     		dl = 559.310090000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09527659-1.09518880) × R
    8.7790000000032e-05 × 6371000     		dr = 559.310090000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34035199--0.34016024) × cos(1.09527659) × R
    0.000191749999999991 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 559.267161522201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34035199--0.34016024) × cos(1.09518880) × R
    0.000191749999999991 × 0.457878631903365 × 6371000     		du = 559.362508469426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09527659)-sin(1.09518880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.457878631903365)×R²
    abs(-0.34016024--0.34035199)×7.80483659353348e-05×R²
    0.000191749999999991×7.80483659353348e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.80483659353348e-05×40589641000000     		ar = 312830.43090102m²