Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14609 / 8973
↖ ↑ ↗
← N 62.850133°
W 19.500733°		 ← 557.46 m → N 62.850133°
W 19.489746°		 →
↑
557.46 m
↓
↑
557.46 m
↓
N 62.845119°
W 19.500733°		 ← 557.55 m →
310 788 m²		 N 62.845119°
W 19.489746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445846557617188 y=0.273849487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445846557617188 × 215)
    floor (0.445846557617188 × 32768)
    floor (14609.5)     		tx = 14609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273849487304688 × 215)
    floor (0.273849487304688 × 32768)
    floor (8973.5)     		ty = 8973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14609 / 8973 ti = "15/14609/8973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14609/8973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14609 ÷ 215
    14609 ÷ 32768     		x = 0.445831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8973 ÷ 215
    8973 ÷ 32768     		y = 0.273834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.10833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34035199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273834228515625 × 2 - 1) × π
    0.45233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42104145233694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34035199} λ = -0.34035199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42104145233694))-π/2
    2×atan(4.14143129838912)-π/2
    2×1.33386903876014-π/2
    2.66773807752028-1.57079632675     		φ = 1.09694175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34035199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.500733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09694175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.850133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14609 KachelY 8973 -0.34035199 1.09694175 -19.500733 62.850133
    Oben rechts KachelX + 1 14610 KachelY 8973 -0.34016024 1.09694175 -19.489746 62.850133
    Unten links KachelX 14609 KachelY + 1 8974 -0.34035199 1.09685425 -19.500733 62.845119
    Unten rechts KachelX + 1 14610 KachelY + 1 8974 -0.34016024 1.09685425 -19.489746 62.845119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09694175-1.09685425) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dl = 557.462500000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09694175-1.09685425) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dr = 557.462500000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34035199--0.34016024) × cos(1.09694175) × R
    0.000191749999999991 × 0.456319530869526 × 6371000     		do = 557.457849451772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34035199--0.34016024) × cos(1.09685425) × R
    0.000191749999999991 × 0.456397388021196 × 6371000     		du = 557.552962804146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09694175)-sin(1.09685425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456319530869526-0.456397388021196)×R²
    abs(-0.34016024--0.34035199)×7.7857151670413e-05×R²
    0.000191749999999991×7.7857151670413e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.7857151670413e-05×40589641000000     		ar = 310788.357661949m²