Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14608 / 9071
↖ ↑ ↗
← N 62.354708°
W 19.511718°		 ← 566.81 m → N 62.354708°
W 19.500733°		 →
↑
566.89 m
↓
↑
566.89 m
↓
N 62.349609°
W 19.511718°		 ← 566.90 m →
321 345 m²		 N 62.349609°
W 19.500733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445816040039062 y=0.276840209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445816040039062 × 215)
    floor (0.445816040039062 × 32768)
    floor (14608.5)     		tx = 14608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276840209960938 × 215)
    floor (0.276840209960938 × 32768)
    floor (9071.5)     		ty = 9071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14608 / 9071 ti = "15/14608/9071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14608/9071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14608 ÷ 215
    14608 ÷ 32768     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9071 ÷ 215
    9071 ÷ 32768     		y = 0.276824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276824951171875 × 2 - 1) × π
    0.44635009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40225018768588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40225018768588))-π/2
    2×atan(4.06433520201614)-π/2
    2×1.32954563686463-π/2
    2.65909127372925-1.57079632675     		φ = 1.08829495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08829495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.354708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14608 KachelY 9071 -0.34054373 1.08829495 -19.511718 62.354708
    Oben rechts KachelX + 1 14609 KachelY 9071 -0.34035199 1.08829495 -19.500733 62.354708
    Unten links KachelX 14608 KachelY + 1 9072 -0.34054373 1.08820597 -19.511718 62.349609
    Unten rechts KachelX + 1 14609 KachelY + 1 9072 -0.34035199 1.08820597 -19.500733 62.349609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08829495-1.08820597) × R
    8.89800000001273e-05 × 6371000     		dl = 566.891580000811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08829495-1.08820597) × R
    8.89800000001273e-05 × 6371000     		dr = 566.891580000811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.34035199) × cos(1.08829495) × R
    0.000191739999999996 × 0.463996437095768 × 6371000     		do = 566.806698203326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.34035199) × cos(1.08820597) × R
    0.000191739999999996 × 0.464075257040907 × 6371000     		du = 566.902982720373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08829495)-sin(1.08820597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463996437095768-0.464075257040907)×R²
    abs(-0.34035199--0.34054373)×7.88199451395855e-05×R²
    0.000191739999999996×7.88199451395855e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.88199451395855e-05×40589641000000     		ar = 321345.236352424m²