Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14608 / 8978
↖ ↑ ↗
← N 62.825055°
W 19.511718°		 ← 557.90 m → N 62.825055°
W 19.500733°		 →
↑
557.97 m
↓
↑
557.97 m
↓
N 62.820037°
W 19.511718°		 ← 558 m →
311 322 m²		 N 62.820037°
W 19.500733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445816040039062 y=0.274002075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445816040039062 × 215)
    floor (0.445816040039062 × 32768)
    floor (14608.5)     		tx = 14608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274002075195312 × 215)
    floor (0.274002075195312 × 32768)
    floor (8978.5)     		ty = 8978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14608 / 8978 ti = "15/14608/8978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14608/8978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14608 ÷ 215
    14608 ÷ 32768     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8978 ÷ 215
    8978 ÷ 32768     		y = 0.27398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27398681640625 × 2 - 1) × π
    0.4520263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42008271434454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42008271434454))-π/2
    2×atan(4.13746265360969)-π/2
    2×1.33365019999953-π/2
    2.66730039999906-1.57079632675     		φ = 1.09650407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09650407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.825055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14608 KachelY 8978 -0.34054373 1.09650407 -19.511718 62.825055
    Oben rechts KachelX + 1 14609 KachelY 8978 -0.34035199 1.09650407 -19.500733 62.825055
    Unten links KachelX 14608 KachelY + 1 8979 -0.34054373 1.09641649 -19.511718 62.820037
    Unten rechts KachelX + 1 14609 KachelY + 1 8979 -0.34035199 1.09641649 -19.500733 62.820037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09650407-1.09641649) × R
    8.7579999999976e-05 × 6371000     		dl = 557.972179999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09650407-1.09641649) × R
    8.7579999999976e-05 × 6371000     		dr = 557.972179999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.34035199) × cos(1.09650407) × R
    0.000191739999999996 × 0.456708941809912 × 6371000     		do = 557.904472214259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.34035199) × cos(1.09641649) × R
    0.000191739999999996 × 0.456786852643061 × 6371000     		du = 557.999646182335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09650407)-sin(1.09641649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456708941809912-0.456786852643061)×R²
    abs(-0.34035199--0.34054373)×7.79108331491751e-05×R²
    0.000191739999999996×7.79108331491751e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.79108331491751e-05×40589641000000     		ar = 311321.727005901m²