Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14607 / 9070
↖ ↑ ↗
← N 62.359805°
W 19.522705°		 ← 566.74 m → N 62.359805°
W 19.511718°		 →
↑
566.76 m
↓
↑
566.76 m
↓
N 62.354708°
W 19.522705°		 ← 566.84 m →
321 235 m²		 N 62.354708°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445785522460938 y=0.276809692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445785522460938 × 215)
    floor (0.445785522460938 × 32768)
    floor (14607.5)     		tx = 14607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276809692382812 × 215)
    floor (0.276809692382812 × 32768)
    floor (9070.5)     		ty = 9070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14607 / 9070 ti = "15/14607/9070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14607/9070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14607 ÷ 215
    14607 ÷ 32768     		x = 0.445770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9070 ÷ 215
    9070 ÷ 32768     		y = 0.27679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.10845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34073548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27679443359375 × 2 - 1) × π
    0.4464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40244193528436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34073548} λ = -0.34073548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40244193528436))-π/2
    2×atan(4.06511460325231)-π/2
    2×1.32959011818824-π/2
    2.65918023637649-1.57079632675     		φ = 1.08838391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34073548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08838391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.359805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14607 KachelY 9070 -0.34073548 1.08838391 -19.522705 62.359805
    Oben rechts KachelX + 1 14608 KachelY 9070 -0.34054373 1.08838391 -19.511718 62.359805
    Unten links KachelX 14607 KachelY + 1 9071 -0.34073548 1.08829495 -19.522705 62.354708
    Unten rechts KachelX + 1 14608 KachelY + 1 9071 -0.34054373 1.08829495 -19.511718 62.354708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08838391-1.08829495) × R
    8.89599999998048e-05 × 6371000     		dl = 566.764159998756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08838391-1.08829495) × R
    8.89599999998048e-05 × 6371000     		dr = 566.764159998756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34073548--0.34054373) × cos(1.08838391) × R
    0.000191749999999991 × 0.463917631194531 × 6371000     		do = 566.739987034236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34073548--0.34054373) × cos(1.08829495) × R
    0.000191749999999991 × 0.463996437095768 × 6371000     		du = 566.836259416318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08838391)-sin(1.08829495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463917631194531-0.463996437095768)×R²
    abs(-0.34054373--0.34073548)×7.88059012366005e-05×R²
    0.000191749999999991×7.88059012366005e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.88059012366005e-05×40589641000000     		ar = 321235.194768338m²