Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14607 / 8991
↖ ↑ ↗
← N 62.759755°
W 19.522705°		 ← 559.17 m → N 62.759755°
W 19.511718°		 →
↑
559.18 m
↓
↑
559.18 m
↓
N 62.754726°
W 19.522705°		 ← 559.27 m →
312 706 m²		 N 62.754726°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445785522460938 y=0.274398803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445785522460938 × 215)
    floor (0.445785522460938 × 32768)
    floor (14607.5)     		tx = 14607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274398803710938 × 215)
    floor (0.274398803710938 × 32768)
    floor (8991.5)     		ty = 8991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14607 / 8991 ti = "15/14607/8991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14607/8991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14607 ÷ 215
    14607 ÷ 32768     		x = 0.445770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8991 ÷ 215
    8991 ÷ 32768     		y = 0.274383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.10845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34073548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274383544921875 × 2 - 1) × π
    0.45123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4175899955643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34073548} λ = -0.34073548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4175899955643))-π/2
    2×atan(4.12716196644239)-π/2
    2×1.33308034503696-π/2
    2.66616069007393-1.57079632675     		φ = 1.09536436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34073548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09536436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.759755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14607 KachelY 8991 -0.34073548 1.09536436 -19.522705 62.759755
    Oben rechts KachelX + 1 14608 KachelY 8991 -0.34054373 1.09536436 -19.511718 62.759755
    Unten links KachelX 14607 KachelY + 1 8992 -0.34073548 1.09527659 -19.522705 62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 14608 KachelY + 1 8992 -0.34054373 1.09527659 -19.511718 62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09536436-1.09527659) × R
    8.77699999999315e-05 × 6371000     		dl = 559.182669999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09536436-1.09527659) × R
    8.77699999999315e-05 × 6371000     		dr = 559.182669999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34073548--0.34054373) × cos(1.09536436) × R
    0.000191749999999991 × 0.457722549425089 × 6371000     		do = 559.171831987726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34073548--0.34054373) × cos(1.09527659) × R
    0.000191749999999991 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 559.267161522201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09536436)-sin(1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457722549425089-0.45780058353743)×R²
    abs(-0.34054373--0.34073548)×7.803411234103e-05×R²
    0.000191749999999991×7.803411234103e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.803411234103e-05×40589641000000     		ar = 312705.851511887m²