Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14605 / 18197
↖ ↑ ↗
← N 62.214195°
W 99.772339°		 ← 284.76 m → N 62.214195°
W 99.766846°		 →
↑
284.78 m
↓
↑
284.78 m
↓
N 62.211634°
W 99.772339°		 ← 284.78 m →
81 098 m²		 N 62.211634°
W 99.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222862243652344 y=0.277671813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222862243652344 × 216)
    floor (0.222862243652344 × 65536)
    floor (14605.5)     		tx = 14605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277671813964844 × 216)
    floor (0.277671813964844 × 65536)
    floor (18197.5)     		ty = 18197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14605 / 18197 ti = "16/14605/18197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14605/18197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14605 ÷ 216
    14605 ÷ 65536     		x = 0.222854614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18197 ÷ 216
    18197 ÷ 65536     		y = 0.277664184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222854614257812 × 2 - 1) × π
    -0.554290771484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74135582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277664184570312 × 2 - 1) × π
    0.444671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.39697712872768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74135582} λ = -1.74135582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39697712872768))-π/2
    2×atan(4.04296012840974)-π/2
    2×1.32831943619197-π/2
    2.65663887238394-1.57079632675     		φ = 1.08584255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74135582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.772339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08584255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.214195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14605 KachelY 18197 -1.74135582 1.08584255 -99.772339 62.214195
    Oben rechts KachelX + 1 14606 KachelY 18197 -1.74125994 1.08584255 -99.766846 62.214195
    Unten links KachelX 14605 KachelY + 1 18198 -1.74135582 1.08579785 -99.772339 62.211634
    Unten rechts KachelX + 1 14606 KachelY + 1 18198 -1.74125994 1.08579785 -99.766846 62.211634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08584255-1.08579785) × R
    4.46999999998976e-05 × 6371000     		dl = 284.783699999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08584255-1.08579785) × R
    4.46999999998976e-05 × 6371000     		dr = 284.783699999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74135582--1.74125994) × cos(1.08584255) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.466167466439018 × 6371000     		do = 284.759086802597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74135582--1.74125994) × cos(1.08579785) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.466207011906735 × 6371000     		du = 284.783243210079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08584255)-sin(1.08579785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466167466439018-0.466207011906735)×R²
    abs(-1.74125994--1.74135582)×3.95454677165064e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.95454677165064e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.95454677165064e-05×40589641000000     		ar = 81098.1860371354m²