Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14603 / 9606
↖ ↑ ↗
← N 59.500880°
W 19.566650°		 ← 619.98 m → N 59.500880°
W 19.555664°		 →
↑
620.09 m
↓
↑
620.09 m
↓
N 59.495303°
W 19.566650°		 ← 620.08 m →
384 475 m²		 N 59.495303°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445663452148438 y=0.293167114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445663452148438 × 215)
    floor (0.445663452148438 × 32768)
    floor (14603.5)     		tx = 14603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293167114257812 × 215)
    floor (0.293167114257812 × 32768)
    floor (9606.5)     		ty = 9606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14603 / 9606 ti = "15/14603/9606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14603/9606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14603 ÷ 215
    14603 ÷ 32768     		x = 0.445648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9606 ÷ 215
    9606 ÷ 32768     		y = 0.29315185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.10870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34150247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29315185546875 × 2 - 1) × π
    0.4136962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29966522249896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34150247} λ = -0.34150247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29966522249896))-π/2
    2×atan(3.66806847524735)-π/2
    2×1.30464129140828-π/2
    2.60928258281657-1.57079632675     		φ = 1.03848626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34150247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.566650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03848626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.500880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14603 KachelY 9606 -0.34150247 1.03848626 -19.566650 59.500880
    Oben rechts KachelX + 1 14604 KachelY 9606 -0.34131073 1.03848626 -19.555664 59.500880
    Unten links KachelX 14603 KachelY + 1 9607 -0.34150247 1.03838893 -19.566650 59.495303
    Unten rechts KachelX + 1 14604 KachelY + 1 9607 -0.34131073 1.03838893 -19.555664 59.495303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03848626-1.03838893) × R
    9.73300000000066e-05 × 6371000     		dl = 620.089430000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03848626-1.03838893) × R
    9.73300000000066e-05 × 6371000     		dr = 620.089430000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34150247--0.34131073) × cos(1.03848626) × R
    0.000191739999999996 × 0.507525132530508 × 6371000     		do = 619.980287834513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34150247--0.34131073) × cos(1.03838893) × R
    0.000191739999999996 × 0.507608993251146 × 6371000     		du = 620.082730039612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03848626)-sin(1.03838893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507525132530508-0.507608993251146)×R²
    abs(-0.34131073--0.34150247)×8.38607206382624e-05×R²
    0.000191739999999996×8.38607206382624e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.38607206382624e-05×40589641000000     		ar = 384474.985262426m²