Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14603 / 21676
↖ ↑ ↗
← S 50.148746°
W 19.566650°		 ← 782.78 m → S 50.148746°
W 19.555664°		 →
↑
782.74 m
↓
↑
782.74 m
↓
S 50.155786°
W 19.566650°		 ← 782.67 m →
612 670 m²		 S 50.155786°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445663452148438 y=0.661514282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445663452148438 × 215)
    floor (0.445663452148438 × 32768)
    floor (14603.5)     		tx = 14603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661514282226562 × 215)
    floor (0.661514282226562 × 32768)
    floor (21676.5)     		ty = 21676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14603 / 21676 ti = "15/14603/21676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14603/21676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14603 ÷ 215
    14603 ÷ 32768     		x = 0.445648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21676 ÷ 215
    21676 ÷ 32768     		y = 0.6614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.10870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34150247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01472829115735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34150247} λ = -0.34150247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01472829115735))-π/2
    2×atan(0.362500911155791)-π/2
    2×0.34776779318713-π/2
    0.695535586374261-1.57079632675     		φ = -0.87526074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34150247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.566650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87526074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.148746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14603 KachelY 21676 -0.34150247 -0.87526074 -19.566650 -50.148746
    Oben rechts KachelX + 1 14604 KachelY 21676 -0.34131073 -0.87526074 -19.555664 -50.148746
    Unten links KachelX 14603 KachelY + 1 21677 -0.34150247 -0.87538360 -19.566650 -50.155786
    Unten rechts KachelX + 1 14604 KachelY + 1 21677 -0.34131073 -0.87538360 -19.555664 -50.155786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87526074--0.87538360) × R
    0.000122860000000058 × 6371000     		dl = 782.741060000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87526074--0.87538360) × R
    0.000122860000000058 × 6371000     		dr = 782.741060000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34150247--0.34131073) × cos(-0.87526074) × R
    0.000191739999999996 × 0.640796707083623 × 6371000     		do = 782.781583485881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34150247--0.34131073) × cos(-0.87538360) × R
    0.000191739999999996 × 0.640702381322078 × 6371000     		du = 782.666357442787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87526074)-sin(-0.87538360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640796707083623-0.640702381322078)×R²
    abs(-0.34131073--0.34150247)×9.43257615445559e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43257615445559e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43257615445559e-05×40589641000000     		ar = 612670.191099374m²