Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14602 / 18200
↖ ↑ ↗
← N 62.206512°
W 99.788819°		 ← 284.83 m → N 62.206512°
W 99.783325°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
N 62.203950°
W 99.788819°		 ← 284.86 m →
81 137 m²		 N 62.203950°
W 99.783325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222816467285156 y=0.277717590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222816467285156 × 216)
    floor (0.222816467285156 × 65536)
    floor (14602.5)     		tx = 14602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277717590332031 × 216)
    floor (0.277717590332031 × 65536)
    floor (18200.5)     		ty = 18200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14602 / 18200 ti = "16/14602/18200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14602/18200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14602 ÷ 216
    14602 ÷ 65536     		x = 0.222808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18200 ÷ 216
    18200 ÷ 65536     		y = 0.2777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.55438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74164344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2777099609375 × 2 - 1) × π
    0.444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39668950732996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74164344} λ = -1.74164344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39668950732996))-π/2
    2×atan(4.04179745377975)-π/2
    2×1.32825238779235-π/2
    2.6565047755847-1.57079632675     		φ = 1.08570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74164344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.788819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.206512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14602 KachelY 18200 -1.74164344 1.08570845 -99.788819 62.206512
    Oben rechts KachelX + 1 14603 KachelY 18200 -1.74154756 1.08570845 -99.783325 62.206512
    Unten links KachelX 14602 KachelY + 1 18201 -1.74164344 1.08566374 -99.788819 62.203950
    Unten rechts KachelX + 1 14603 KachelY + 1 18201 -1.74154756 1.08566374 -99.783325 62.203950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08570845-1.08566374) × R
    4.47100000000589e-05 × 6371000     		dl = 284.847410000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08570845-1.08566374) × R
    4.47100000000589e-05 × 6371000     		dr = 284.847410000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74164344--1.74154756) × cos(1.08570845) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.466286100047518 × 6371000     		do = 284.831554317268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74164344--1.74154756) × cos(1.08566374) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.466325651566558 × 6371000     		du = 284.85571442121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08570845)-sin(1.08566374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466286100047518-0.466325651566558)×R²
    abs(-1.74154756--1.74164344)×3.95515190401707e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.95515190401707e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.95515190401707e-05×40589641000000     		ar = 81136.9715186628m²