Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14600 / 20389
↖ ↑ ↗
← S 40.220830°
W 19.599610°		 ← 932.80 m → S 40.220830°
W 19.588623°		 →
↑
932.71 m
↓
↑
932.71 m
↓
S 40.229218°
W 19.599610°		 ← 932.68 m →
869 979 m²		 S 40.229218°
W 19.588623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445571899414062 y=0.622238159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445571899414062 × 215)
    floor (0.445571899414062 × 32768)
    floor (14600.5)     		tx = 14600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622238159179688 × 215)
    floor (0.622238159179688 × 32768)
    floor (20389.5)     		ty = 20389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14600 / 20389 ti = "15/14600/20389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14600/20389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14600 ÷ 215
    14600 ÷ 32768     		x = 0.445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20389 ÷ 215
    20389 ÷ 32768     		y = 0.622222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34207772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.24444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.7679491319133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34207772} λ = -0.34207772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7679491319133))-π/2
    2×atan(0.46396362143311)-π/2
    2×0.434405207950451-π/2
    0.868810415900902-1.57079632675     		φ = -0.70198591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34207772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.599610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70198591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.220830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14600 KachelY 20389 -0.34207772 -0.70198591 -19.599610 -40.220830
    Oben rechts KachelX + 1 14601 KachelY 20389 -0.34188597 -0.70198591 -19.588623 -40.220830
    Unten links KachelX 14600 KachelY + 1 20390 -0.34207772 -0.70213231 -19.599610 -40.229218
    Unten rechts KachelX + 1 14601 KachelY + 1 20390 -0.34188597 -0.70213231 -19.588623 -40.229218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70198591--0.70213231) × R
    0.000146399999999991 × 6371000     		dl = 932.714399999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70198591--0.70213231) × R
    0.000146399999999991 × 6371000     		dr = 932.714399999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34207772--0.34188597) × cos(-0.70198591) × R
    0.000191749999999991 × 0.763561321571609 × 6371000     		do = 932.796480213703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34207772--0.34188597) × cos(-0.70213231) × R
    0.000191749999999991 × 0.763466777737876 × 6371000     		du = 932.680981755569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70198591)-sin(-0.70213231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763561321571609-0.763466777737876)×R²
    abs(-0.34188597--0.34207772)×9.45438337331961e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45438337331961e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45438337331961e-05×40589641000000     		ar = 869978.847381042m²