Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14598 / 18179
↖ ↑ ↗
← N 62.260253°
W 99.810791°		 ← 284.29 m → N 62.260253°
W 99.805298°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 62.257696°
W 99.810791°		 ← 284.32 m →
80 839 m²		 N 62.257696°
W 99.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222755432128906 y=0.277397155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222755432128906 × 216)
    floor (0.222755432128906 × 65536)
    floor (14598.5)     		tx = 14598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277397155761719 × 216)
    floor (0.277397155761719 × 65536)
    floor (18179.5)     		ty = 18179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14598 / 18179 ti = "16/14598/18179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14598/18179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14598 ÷ 216
    14598 ÷ 65536     		x = 0.222747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18179 ÷ 216
    18179 ÷ 65536     		y = 0.277389526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.55450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74202693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277389526367188 × 2 - 1) × π
    0.445220947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.398702857114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74202693} λ = -1.74202693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.398702857114))-π/2
    2×atan(4.04994320318024)-π/2
    2×1.32872136846452-π/2
    2.65744273692904-1.57079632675     		φ = 1.08664641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74202693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08664641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.260253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14598 KachelY 18179 -1.74202693 1.08664641 -99.810791 62.260253
    Oben rechts KachelX + 1 14599 KachelY 18179 -1.74193106 1.08664641 -99.805298 62.260253
    Unten links KachelX 14598 KachelY + 1 18180 -1.74202693 1.08660178 -99.810791 62.257696
    Unten rechts KachelX + 1 14599 KachelY + 1 18180 -1.74193106 1.08660178 -99.805298 62.257696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08664641-1.08660178) × R
    4.46299999998789e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08664641-1.08660178) × R
    4.46299999998789e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74202693--1.74193106) × cos(1.08664641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465456143772303 × 6371000     		do = 284.294920087478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74202693--1.74193106) × cos(1.08660178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465495644025023 × 6371000     		du = 284.319046358751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08664641)-sin(1.08660178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465456143772303-0.465495644025023)×R²
    abs(-1.74193106--1.74202693)×3.95002527194266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95002527194266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95002527194266e-05×40589641000000     		ar = 80839.2022462159m²