Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14598 / 18176
↖ ↑ ↗
← N 62.267923°
W 99.810791°		 ← 284.22 m → N 62.267923°
W 99.805298°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 62.265366°
W 99.810791°		 ← 284.25 m →
80 801 m²		 N 62.265366°
W 99.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222755432128906 y=0.277351379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222755432128906 × 216)
    floor (0.222755432128906 × 65536)
    floor (14598.5)     		tx = 14598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277351379394531 × 216)
    floor (0.277351379394531 × 65536)
    floor (18176.5)     		ty = 18176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14598 / 18176 ti = "16/14598/18176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14598/18176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14598 ÷ 216
    14598 ÷ 65536     		x = 0.222747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18176 ÷ 216
    18176 ÷ 65536     		y = 0.27734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.55450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74202693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27734375 × 2 - 1) × π
    0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74202693} λ = -1.74202693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39899047851172))-π/2
    2×atan(4.05110822103903)-π/2
    2×1.32878829751836-π/2
    2.65757659503671-1.57079632675     		φ = 1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74202693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14598 KachelY 18176 -1.74202693 1.08678027 -99.810791 62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 14599 KachelY 18176 -1.74193106 1.08678027 -99.805298 62.267923
    Unten links KachelX 14598 KachelY + 1 18177 -1.74202693 1.08673565 -99.810791 62.265366
    Unten rechts KachelX + 1 14599 KachelY + 1 18177 -1.74193106 1.08673565 -99.805298 62.265366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08678027-1.08673565) × R
    4.46199999999397e-05 × 6371000     		dl = 284.274019999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08678027-1.08673565) × R
    4.46199999999397e-05 × 6371000     		dr = 284.274019999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74202693--1.74193106) × cos(1.08678027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 284.222554095094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74202693--1.74193106) × cos(1.08673565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465377158187854 × 6371000     		du = 284.24667665849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08678027)-sin(1.08673565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.465377158187854)×R²
    abs(-1.74193106--1.74202693)×3.94941820737738e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94941820737738e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94941820737738e-05×40589641000000     		ar = 80800.5167497782m²