Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14597 / 7133
↖ ↑ ↗
← N 70.739854°
W 19.632568°		 ← 402.97 m → N 70.739854°
W 19.621582°		 →
↑
403.03 m
↓
↑
403.03 m
↓
N 70.736230°
W 19.632568°		 ← 403.04 m →
162 422 m²		 N 70.736230°
W 19.621582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445480346679688 y=0.217697143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445480346679688 × 215)
    floor (0.445480346679688 × 32768)
    floor (14597.5)     		tx = 14597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217697143554688 × 215)
    floor (0.217697143554688 × 32768)
    floor (7133.5)     		ty = 7133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14597 / 7133 ti = "15/14597/7133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14597/7133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14597 ÷ 215
    14597 ÷ 32768     		x = 0.445465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7133 ÷ 215
    7133 ÷ 32768     		y = 0.217681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.10906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34265296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217681884765625 × 2 - 1) × π
    0.56463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77385703354056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34265296} λ = -0.34265296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77385703354056))-π/2
    2×atan(5.89354116539302)-π/2
    2×1.40271984741462-π/2
    2.80543969482925-1.57079632675     		φ = 1.23464337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34265296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.632568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23464337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.739854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14597 KachelY 7133 -0.34265296 1.23464337 -19.632568 70.739854
    Oben rechts KachelX + 1 14598 KachelY 7133 -0.34246121 1.23464337 -19.621582 70.739854
    Unten links KachelX 14597 KachelY + 1 7134 -0.34265296 1.23458011 -19.632568 70.736230
    Unten rechts KachelX + 1 14598 KachelY + 1 7134 -0.34246121 1.23458011 -19.621582 70.736230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23464337-1.23458011) × R
    6.32599999998984e-05 × 6371000     		dl = 403.029459999353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23464337-1.23458011) × R
    6.32599999998984e-05 × 6371000     		dr = 403.029459999353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34265296--0.34246121) × cos(1.23464337) × R
    0.000191749999999991 × 0.32985781539838 × 6371000     		do = 402.967254209895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34265296--0.34246121) × cos(1.23458011) × R
    0.000191749999999991 × 0.329917534115683 × 6371000     		du = 403.040208938913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23464337)-sin(1.23458011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32985781539838-0.329917534115683)×R²
    abs(-0.34246121--0.34265296)×5.97187173034253e-05×R²
    0.000191749999999991×5.97187173034253e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.97187173034253e-05×40589641000000     		ar = 162422.376368351m²