Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14597 / 18177
↖ ↑ ↗
← N 62.265366°
W 99.816284°		 ← 284.28 m → N 62.265366°
W 99.810791°		 →
↑
284.27 m
↓
↑
284.27 m
↓
N 62.262810°
W 99.816284°		 ← 284.30 m →
80 816 m²		 N 62.262810°
W 99.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222740173339844 y=0.277366638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222740173339844 × 216)
    floor (0.222740173339844 × 65536)
    floor (14597.5)     		tx = 14597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277366638183594 × 216)
    floor (0.277366638183594 × 65536)
    floor (18177.5)     		ty = 18177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14597 / 18177 ti = "16/14597/18177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14597/18177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14597 ÷ 216
    14597 ÷ 65536     		x = 0.222732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18177 ÷ 216
    18177 ÷ 65536     		y = 0.277359008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.554534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74212281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277359008789062 × 2 - 1) × π
    0.445281982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.39889460471248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74212281} λ = -1.74212281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39889460471248))-π/2
    2×atan(4.05071984452061)-π/2
    2×1.32876598972688-π/2
    2.65753197945376-1.57079632675     		φ = 1.08673565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74212281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08673565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.265366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14597 KachelY 18177 -1.74212281 1.08673565 -99.816284 62.265366
    Oben rechts KachelX + 1 14598 KachelY 18177 -1.74202693 1.08673565 -99.810791 62.265366
    Unten links KachelX 14597 KachelY + 1 18178 -1.74212281 1.08669103 -99.816284 62.262810
    Unten rechts KachelX + 1 14598 KachelY + 1 18178 -1.74202693 1.08669103 -99.810791 62.262810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08673565-1.08669103) × R
    4.46200000001618e-05 × 6371000     		dl = 284.274020001031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08673565-1.08669103) × R
    4.46200000001618e-05 × 6371000     		dr = 284.274020001031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74212281--1.74202693) × cos(1.08673565) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.465377158187854 × 6371000     		do = 284.276325837058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74212281--1.74202693) × cos(1.08669103) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.465416651443388 × 6371000     		du = 284.300450350651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08673565)-sin(1.08669103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465377158187854-0.465416651443388)×R²
    abs(-1.74202693--1.74212281)×3.94932555339289e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.94932555339289e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.94932555339289e-05×40589641000000     		ar = 80815.8029365736m²