Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14597 / 15105
↖ ↑ ↗
← N 69.160604°
W 99.816284°		 ← 217.31 m → N 69.160604°
W 99.810791°		 →
↑
217.31 m
↓
↑
217.31 m
↓
N 69.158650°
W 99.816284°		 ← 217.33 m →
47 227 m²		 N 69.158650°
W 99.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222740173339844 y=0.230491638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222740173339844 × 216)
    floor (0.222740173339844 × 65536)
    floor (14597.5)     		tx = 14597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230491638183594 × 216)
    floor (0.230491638183594 × 65536)
    floor (15105.5)     		ty = 15105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14597 / 15105 ti = "16/14597/15105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14597/15105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14597 ÷ 216
    14597 ÷ 65536     		x = 0.222732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15105 ÷ 216
    15105 ÷ 65536     		y = 0.230484008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.554534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74212281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230484008789062 × 2 - 1) × π
    0.539031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6934189159781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74212281} λ = -1.74212281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6934189159781))-π/2
    2×atan(5.43804116455323)-π/2
    2×1.38893828791601-π/2
    2.77787657583202-1.57079632675     		φ = 1.20708025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74212281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20708025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.160604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14597 KachelY 15105 -1.74212281 1.20708025 -99.816284 69.160604
    Oben rechts KachelX + 1 14598 KachelY 15105 -1.74202693 1.20708025 -99.810791 69.160604
    Unten links KachelX 14597 KachelY + 1 15106 -1.74212281 1.20704614 -99.816284 69.158650
    Unten rechts KachelX + 1 14598 KachelY + 1 15106 -1.74202693 1.20704614 -99.810791 69.158650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20708025-1.20704614) × R
    3.41099999998651e-05 × 6371000     		dl = 217.31480999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20708025-1.20704614) × R
    3.41099999998651e-05 × 6371000     		dr = 217.31480999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74212281--1.74202693) × cos(1.20708025) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355749657424963 × 6371000     		do = 217.310204747389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74212281--1.74202693) × cos(1.20704614) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355781535785686 × 6371000     		du = 217.329677691217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20708025)-sin(1.20704614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355749657424963-0.355781535785686)×R²
    abs(-1.74202693--1.74212281)×3.18783607232698e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.18783607232698e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.18783607232698e-05×40589641000000     		ar = 47226.8417398512m²