Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14597 / 11011
↖ ↑ ↗
← N 75.841138°
W 99.816284°		 ← 149.42 m → N 75.841138°
W 99.810791°		 →
↑
149.46 m
↓
↑
149.46 m
↓
N 75.839794°
W 99.816284°		 ← 149.44 m →
22 334 m²		 N 75.839794°
W 99.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222740173339844 y=0.168022155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222740173339844 × 216)
    floor (0.222740173339844 × 65536)
    floor (14597.5)     		tx = 14597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168022155761719 × 216)
    floor (0.168022155761719 × 65536)
    floor (11011.5)     		ty = 11011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14597 / 11011 ti = "16/14597/11011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14597/11011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14597 ÷ 216
    14597 ÷ 65536     		x = 0.222732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11011 ÷ 216
    11011 ÷ 65536     		y = 0.168014526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.554534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74212281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168014526367188 × 2 - 1) × π
    0.663970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08592625006712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74212281} λ = -1.74212281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08592625006712))-π/2
    2×atan(8.05204623704844)-π/2
    2×1.44723694695664-π/2
    2.89447389391328-1.57079632675     		φ = 1.32367757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74212281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32367757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.841138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14597 KachelY 11011 -1.74212281 1.32367757 -99.816284 75.841138
    Oben rechts KachelX + 1 14598 KachelY 11011 -1.74202693 1.32367757 -99.810791 75.841138
    Unten links KachelX 14597 KachelY + 1 11012 -1.74212281 1.32365411 -99.816284 75.839794
    Unten rechts KachelX + 1 14598 KachelY + 1 11012 -1.74202693 1.32365411 -99.810791 75.839794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32367757-1.32365411) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dl = 149.463659999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32367757-1.32365411) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dr = 149.463659999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74212281--1.74202693) × cos(1.32367757) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.244611263866674 × 6371000     		do = 149.42115255753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74212281--1.74202693) × cos(1.32365411) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.244634011113413 × 6371000     		du = 149.435047746867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32367757)-sin(1.32365411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244611263866674-0.244634011113413)×R²
    abs(-1.74202693--1.74212281)×2.2747246739202e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.2747246739202e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.2747246739202e-05×40589641000000     		ar = 22334.0707561714m²