Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14596 / 9086
↖ ↑ ↗
← N 62.278145°
W 19.643555°		 ← 568.28 m → N 62.278145°
W 19.632568°		 →
↑
568.29 m
↓
↑
568.29 m
↓
N 62.273035°
W 19.643555°		 ← 568.38 m →
322 978 m²		 N 62.273035°
W 19.632568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445449829101562 y=0.277297973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445449829101562 × 215)
    floor (0.445449829101562 × 32768)
    floor (14596.5)     		tx = 14596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277297973632812 × 215)
    floor (0.277297973632812 × 32768)
    floor (9086.5)     		ty = 9086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14596 / 9086 ti = "15/14596/9086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14596/9086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14596 ÷ 215
    14596 ÷ 32768     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9086 ÷ 215
    9086 ÷ 32768     		y = 0.27728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27728271484375 × 2 - 1) × π
    0.4454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39937397370868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39937397370868))-π/2
    2×atan(4.05266209951759)-π/2
    2×1.32887750975558-π/2
    2.65775501951117-1.57079632675     		φ = 1.08695869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08695869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.278145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14596 KachelY 9086 -0.34284471 1.08695869 -19.643555 62.278145
    Oben rechts KachelX + 1 14597 KachelY 9086 -0.34265296 1.08695869 -19.632568 62.278145
    Unten links KachelX 14596 KachelY + 1 9087 -0.34284471 1.08686949 -19.643555 62.273035
    Unten rechts KachelX + 1 14597 KachelY + 1 9087 -0.34265296 1.08686949 -19.632568 62.273035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08695869-1.08686949) × R
    8.91999999999005e-05 × 6371000     		dl = 568.293199999366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08695869-1.08686949) × R
    8.91999999999005e-05 × 6371000     		dr = 568.293199999366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34265296) × cos(1.08695869) × R
    0.000191749999999991 × 0.465179731126633 × 6371000     		do = 568.281817848714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34265296) × cos(1.08686949) × R
    0.000191749999999991 × 0.465258690565822 × 6371000     		du = 568.378277798785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08695869)-sin(1.08686949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465179731126633-0.465258690565822)×R²
    abs(-0.34265296--0.34284471)×7.8959439188897e-05×R²
    0.000191749999999991×7.8959439188897e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.8959439188897e-05×40589641000000     		ar = 322978.101748293m²