Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14595 / 9084
↖ ↑ ↗
← N 62.288365°
W 19.654541°		 ← 568.06 m → N 62.288365°
W 19.643555°		 →
↑
568.17 m
↓
↑
568.17 m
↓
N 62.283256°
W 19.654541°		 ← 568.16 m →
322 779 m²		 N 62.283256°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445419311523438 y=0.277236938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445419311523438 × 215)
    floor (0.445419311523438 × 32768)
    floor (14595.5)     		tx = 14595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277236938476562 × 215)
    floor (0.277236938476562 × 32768)
    floor (9084.5)     		ty = 9084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14595 / 9084 ti = "15/14595/9084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14595/9084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14595 ÷ 215
    14595 ÷ 32768     		x = 0.445404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9084 ÷ 215
    9084 ÷ 32768     		y = 0.2772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.10919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34303645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2772216796875 × 2 - 1) × π
    0.445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.39975746890564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34303645} λ = -0.34303645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39975746890564))-π/2
    2×atan(4.05421657401536)-π/2
    2×1.32896669171252-π/2
    2.65793338342505-1.57079632675     		φ = 1.08713706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34303645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.654541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08713706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.288365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14595 KachelY 9084 -0.34303645 1.08713706 -19.654541 62.288365
    Oben rechts KachelX + 1 14596 KachelY 9084 -0.34284471 1.08713706 -19.643555 62.288365
    Unten links KachelX 14595 KachelY + 1 9085 -0.34303645 1.08704788 -19.654541 62.283256
    Unten rechts KachelX + 1 14596 KachelY + 1 9085 -0.34284471 1.08704788 -19.643555 62.283256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08713706-1.08704788) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dl = 568.16578000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08713706-1.08704788) × R
    8.9180000000022e-05 × 6371000     		dr = 568.16578000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34303645--0.34284471) × cos(1.08713706) × R
    0.000191739999999996 × 0.465021827704057 × 6371000     		do = 568.059290289358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34303645--0.34284471) × cos(1.08704788) × R
    0.000191739999999996 × 0.465100776838754 × 6371000     		du = 568.155732621208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08713706)-sin(1.08704788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465021827704057-0.465100776838754)×R²
    abs(-0.34284471--0.34303645)×7.89491346968041e-05×R²
    0.000191739999999996×7.89491346968041e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.89491346968041e-05×40589641000000     		ar = 322779.247583251m²