Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14595 / 18181
↖ ↑ ↗
← N 62.255139°
W 99.827270°		 ← 284.34 m → N 62.255139°
W 99.821777°		 →
↑
284.34 m
↓
↑
284.34 m
↓
N 62.252582°
W 99.827270°		 ← 284.37 m →
80 853 m²		 N 62.252582°
W 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222709655761719 y=0.277427673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222709655761719 × 216)
    floor (0.222709655761719 × 65536)
    floor (14595.5)     		tx = 14595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277427673339844 × 216)
    floor (0.277427673339844 × 65536)
    floor (18181.5)     		ty = 18181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14595 / 18181 ti = "16/14595/18181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14595/18181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14595 ÷ 216
    14595 ÷ 65536     		x = 0.222702026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18181 ÷ 216
    18181 ÷ 65536     		y = 0.277420043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222702026367188 × 2 - 1) × π
    -0.554595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74231455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277420043945312 × 2 - 1) × π
    0.445159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.39851110951552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74231455} λ = -1.74231455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39851110951552))-π/2
    2×atan(4.04916671074471)-π/2
    2×1.32867673962883-π/2
    2.65735347925766-1.57079632675     		φ = 1.08655715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74231455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.827270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08655715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.255139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14595 KachelY 18181 -1.74231455 1.08655715 -99.827270 62.255139
    Oben rechts KachelX + 1 14596 KachelY 18181 -1.74221868 1.08655715 -99.821777 62.255139
    Unten links KachelX 14595 KachelY + 1 18182 -1.74231455 1.08651252 -99.827270 62.252582
    Unten rechts KachelX + 1 14596 KachelY + 1 18182 -1.74221868 1.08651252 -99.821777 62.252582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08655715-1.08651252) × R
    4.46299999998789e-05 × 6371000     		dl = 284.337729999229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08655715-1.08651252) × R
    4.46299999998789e-05 × 6371000     		dr = 284.337729999229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74231455--1.74221868) × cos(1.08655715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465535143350551 × 6371000     		do = 284.343172063707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74231455--1.74221868) × cos(1.08651252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465574641748809 × 6371000     		du = 284.367297202298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08655715)-sin(1.08651252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465535143350551-0.465574641748809)×R²
    abs(-1.74221868--1.74231455)×3.94983982579533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94983982579533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94983982579533e-05×40589641000000     		ar = 80852.9219422975m²