Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14594 / 9056
↖ ↑ ↗
← N 62.431074°
W 19.665527°		 ← 565.39 m → N 62.431074°
W 19.654541°		 →
↑
565.43 m
↓
↑
565.43 m
↓
N 62.425989°
W 19.665527°		 ← 565.49 m →
319 715 m²		 N 62.425989°
W 19.654541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445388793945312 y=0.276382446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445388793945312 × 215)
    floor (0.445388793945312 × 32768)
    floor (14594.5)     		tx = 14594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276382446289062 × 215)
    floor (0.276382446289062 × 32768)
    floor (9056.5)     		ty = 9056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14594 / 9056 ti = "15/14594/9056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14594/9056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14594 ÷ 215
    14594 ÷ 32768     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9056 ÷ 215
    9056 ÷ 32768     		y = 0.2763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40512640166309))-π/2
    2×atan(4.07604192718507)-π/2
    2×1.33021206384889-π/2
    2.66042412769777-1.57079632675     		φ = 1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14594 KachelY 9056 -0.34322820 1.08962780 -19.665527 62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 14595 KachelY 9056 -0.34303645 1.08962780 -19.654541 62.431074
    Unten links KachelX 14594 KachelY + 1 9057 -0.34322820 1.08953905 -19.665527 62.425989
    Unten rechts KachelX + 1 14595 KachelY + 1 9057 -0.34303645 1.08953905 -19.654541 62.425989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08962780-1.08953905) × R
    8.87499999999708e-05 × 6371000     		dl = 565.426249999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08962780-1.08953905) × R
    8.87499999999708e-05 × 6371000     		dr = 565.426249999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34303645) × cos(1.08962780) × R
    0.000191749999999991 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 565.393381633809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34303645) × cos(1.08953905) × R
    0.000191749999999991 × 0.462894008403778 × 6371000     		du = 565.489489255857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08962780)-sin(1.08953905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.462894008403778)×R²
    abs(-0.34303645--0.34322820)×7.86710332435492e-05×R²
    0.000191749999999991×7.86710332435492e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.86710332435492e-05×40589641000000     		ar = 319715.430647663m²