Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14594 / 15104
↖ ↑ ↗
← N 69.162558°
W 99.832764°		 ← 217.29 m → N 69.162558°
W 99.827270°		 →
↑
217.25 m
↓
↑
217.25 m
↓
N 69.160604°
W 99.832764°		 ← 217.31 m →
47 209 m²		 N 69.160604°
W 99.827270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222694396972656 y=0.230476379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222694396972656 × 216)
    floor (0.222694396972656 × 65536)
    floor (14594.5)     		tx = 14594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230476379394531 × 216)
    floor (0.230476379394531 × 65536)
    floor (15104.5)     		ty = 15104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14594 / 15104 ti = "16/14594/15104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14594/15104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14594 ÷ 216
    14594 ÷ 65536     		x = 0.222686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15104 ÷ 216
    15104 ÷ 65536     		y = 0.23046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.55462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74241043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23046875 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74241043} λ = -1.74241043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69351478977734))-π/2
    2×atan(5.43856255521356)-π/2
    2×1.38895534068768-π/2
    2.77791068137535-1.57079632675     		φ = 1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74241043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14594 KachelY 15104 -1.74241043 1.20711435 -99.832764 69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 14595 KachelY 15104 -1.74231455 1.20711435 -99.827270 69.162558
    Unten links KachelX 14594 KachelY + 1 15105 -1.74241043 1.20708025 -99.832764 69.160604
    Unten rechts KachelX + 1 14595 KachelY + 1 15105 -1.74231455 1.20708025 -99.827270 69.160604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20711435-1.20708025) × R
    3.40999999999259e-05 × 6371000     		dl = 217.251099999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20711435-1.20708025) × R
    3.40999999999259e-05 × 6371000     		dr = 217.251099999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74241043--1.74231455) × cos(1.20711435) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 217.290737260204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74241043--1.74231455) × cos(1.20708025) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.355749657424963 × 6371000     		du = 217.310204747892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20711435)-sin(1.20708025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.355749657424963)×R²
    abs(-1.74231455--1.74241043)×3.18694287010368e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.18694287010368e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.18694287010368e-05×40589641000000     		ar = 47208.7663604217m²