Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14592 / 9048
↖ ↑ ↗
← N 62.471724°
W 19.687500°		 ← 564.62 m → N 62.471724°
W 19.676514°		 →
↑
564.66 m
↓
↑
564.66 m
↓
N 62.466646°
W 19.687500°		 ← 564.72 m →
318 849 m²		 N 62.466646°
W 19.676514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445327758789062 y=0.276138305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445327758789062 × 215)
    floor (0.445327758789062 × 32768)
    floor (14592.5)     		tx = 14592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276138305664062 × 215)
    floor (0.276138305664062 × 32768)
    floor (9048.5)     		ty = 9048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14592 / 9048 ti = "15/14592/9048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14592/9048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14592 ÷ 215
    14592 ÷ 32768     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9048 ÷ 215
    9048 ÷ 32768     		y = 0.276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276123046875 × 2 - 1) × π
    0.44775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40666038245093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40666038245093))-π/2
    2×atan(4.08229929530603)-π/2
    2×1.33056679749754-π/2
    2.66113359499508-1.57079632675     		φ = 1.09033727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09033727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.471724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14592 KachelY 9048 -0.34361170 1.09033727 -19.687500 62.471724
    Oben rechts KachelX + 1 14593 KachelY 9048 -0.34341995 1.09033727 -19.676514 62.471724
    Unten links KachelX 14592 KachelY + 1 9049 -0.34361170 1.09024864 -19.687500 62.466646
    Unten rechts KachelX + 1 14593 KachelY + 1 9049 -0.34341995 1.09024864 -19.676514 62.466646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09033727-1.09024864) × R
    8.8630000000034e-05 × 6371000     		dl = 564.661730000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09033727-1.09024864) × R
    8.8630000000034e-05 × 6371000     		dr = 564.661730000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34341995) × cos(1.09033727) × R
    0.000191750000000046 × 0.462186307917435 × 6371000     		do = 564.62493456466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34341995) × cos(1.09024864) × R
    0.000191750000000046 × 0.462264901665713 × 6371000     		du = 564.720947772361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09033727)-sin(1.09024864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462186307917435-0.462264901665713)×R²
    abs(-0.34341995--0.34361170)×7.85937482780663e-05×R²
    0.000191750000000046×7.85937482780663e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.85937482780663e-05×40589641000000     		ar = 318849.200053884m²