Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14592 / 18184
↖ ↑ ↗
← N 62.247466°
W 99.843750°		 ← 284.42 m → N 62.247466°
W 99.838257°		 →
↑
284.47 m
↓
↑
284.47 m
↓
N 62.244908°
W 99.843750°		 ← 284.44 m →
80 910 m²		 N 62.244908°
W 99.838257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222663879394531 y=0.277473449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222663879394531 × 216)
    floor (0.222663879394531 × 65536)
    floor (14592.5)     		tx = 14592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277473449707031 × 216)
    floor (0.277473449707031 × 65536)
    floor (18184.5)     		ty = 18184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14592 / 18184 ti = "16/14592/18184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14592/18184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14592 ÷ 216
    14592 ÷ 65536     		x = 0.22265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18184 ÷ 216
    18184 ÷ 65536     		y = 0.2774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22265625 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2774658203125 × 2 - 1) × π
    0.445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3982234881178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74260217} λ = -1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3982234881178))-π/2
    2×atan(4.04800225122553)-π/2
    2×1.32860978217327-π/2
    2.65721956434654-1.57079632675     		φ = 1.08642324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08642324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.247466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14592 KachelY 18184 -1.74260217 1.08642324 -99.843750 62.247466
    Oben rechts KachelX + 1 14593 KachelY 18184 -1.74250630 1.08642324 -99.838257 62.247466
    Unten links KachelX 14592 KachelY + 1 18185 -1.74260217 1.08637859 -99.843750 62.244908
    Unten rechts KachelX + 1 14593 KachelY + 1 18185 -1.74250630 1.08637859 -99.838257 62.244908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08642324-1.08637859) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dl = 284.465149999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08642324-1.08637859) × R
    4.46499999999794e-05 × 6371000     		dr = 284.465149999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74260217--1.74250630) × cos(1.08642324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465653653462541 × 6371000     		do = 284.415556590732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74260217--1.74250630) × cos(1.08637859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465693166777026 × 6371000     		du = 284.439690839972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08642324)-sin(1.08637859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465653653462541-0.465693166777026)×R²
    abs(-1.74250630--1.74260217)×3.95133144853177e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95133144853177e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95133144853177e-05×40589641000000     		ar = 80909.7466577851m²