Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14591 / 11007
↖ ↑ ↗
← N 75.846512°
W 99.849243°		 ← 149.37 m → N 75.846512°
W 99.843750°		 →
↑
149.40 m
↓
↑
149.40 m
↓
N 75.845168°
W 99.849243°		 ← 149.38 m →
22 316 m²		 N 75.845168°
W 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222648620605469 y=0.167961120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222648620605469 × 216)
    floor (0.222648620605469 × 65536)
    floor (14591.5)     		tx = 14591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167961120605469 × 216)
    floor (0.167961120605469 × 65536)
    floor (11007.5)     		ty = 11007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14591 / 11007 ti = "16/14591/11007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14591/11007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14591 ÷ 216
    14591 ÷ 65536     		x = 0.222640991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11007 ÷ 216
    11007 ÷ 65536     		y = 0.167953491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222640991210938 × 2 - 1) × π
    -0.554718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74269805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167953491210938 × 2 - 1) × π
    0.664093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08630974526408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74269805} λ = -1.74269805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08630974526408))-π/2
    2×atan(8.05513475028319)-π/2
    2×1.44728384186016-π/2
    2.89456768372031-1.57079632675     		φ = 1.32377136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74269805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32377136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.846512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14591 KachelY 11007 -1.74269805 1.32377136 -99.849243 75.846512
    Oben rechts KachelX + 1 14592 KachelY 11007 -1.74260217 1.32377136 -99.843750 75.846512
    Unten links KachelX 14591 KachelY + 1 11008 -1.74269805 1.32374791 -99.849243 75.845168
    Unten rechts KachelX + 1 14592 KachelY + 1 11008 -1.74260217 1.32374791 -99.843750 75.845168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32377136-1.32374791) × R
    2.34500000000359e-05 × 6371000     		dl = 149.399950000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32377136-1.32374791) × R
    2.34500000000359e-05 × 6371000     		dr = 149.399950000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74269805--1.74260217) × cos(1.32377136) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.24452032201578 × 6371000     		do = 149.365600593318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74269805--1.74260217) × cos(1.32374791) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.244543060104282 × 6371000     		du = 149.379490188331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32377136)-sin(1.32374791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24452032201578-0.244543060104282)×R²
    abs(-1.74260217--1.74269805)×2.27380885013673e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.27380885013673e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.27380885013673e-05×40589641000000     		ar = 22316.2508138753m²