Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14590 / 14595
↖ ↑ ↗
← N 70.134765°
W 99.854736°		 ← 207.55 m → N 70.134765°
W 99.849243°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
N 70.132898°
W 99.854736°		 ← 207.57 m →
43 083 m²		 N 70.132898°
W 99.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222633361816406 y=0.222709655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222633361816406 × 216)
    floor (0.222633361816406 × 65536)
    floor (14590.5)     		tx = 14590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222709655761719 × 216)
    floor (0.222709655761719 × 65536)
    floor (14595.5)     		ty = 14595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14590 / 14595 ti = "16/14590/14595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14590/14595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14590 ÷ 216
    14590 ÷ 65536     		x = 0.222625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14595 ÷ 216
    14595 ÷ 65536     		y = 0.222702026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.55474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74279392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222702026367188 × 2 - 1) × π
    0.554595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74231455359056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74279392} λ = -1.74279392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74231455359056))-π/2
    2×atan(5.71054550191375)-π/2
    2×1.39743944938304-π/2
    2.79487889876608-1.57079632675     		φ = 1.22408257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74279392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.854736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22408257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.134765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14590 KachelY 14595 -1.74279392 1.22408257 -99.854736 70.134765
    Oben rechts KachelX + 1 14591 KachelY 14595 -1.74269805 1.22408257 -99.849243 70.134765
    Unten links KachelX 14590 KachelY + 1 14596 -1.74279392 1.22404999 -99.854736 70.132898
    Unten rechts KachelX + 1 14591 KachelY + 1 14596 -1.74269805 1.22404999 -99.849243 70.132898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22408257-1.22404999) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dl = 207.567180000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22408257-1.22404999) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dr = 207.567180000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74279392--1.74269805) × cos(1.22408257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33980895427443 × 6371000     		do = 207.551153407307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74279392--1.74269805) × cos(1.22404999) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33983959540437 × 6371000     		du = 207.569868634733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22408257)-sin(1.22404999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33980895427443-0.33983959540437)×R²
    abs(-1.74269805--1.74279392)×3.06411299399456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06411299399456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06411299399456e-05×40589641000000     		ar = 43082.7499561449m²