Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1459 / 779
↖ ↑ ↗
← N 81.018058°
W115.883789°		 ← 762.89 m → N 81.018058°
W115.839844°		 →
↑
763.18 m
↓
↑
763.18 m
↓
N 81.011194°
W115.883789°		 ← 763.47 m →
582 448 m²		 N 81.011194°
W115.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17816162109375 y=0.09515380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17816162109375 × 213)
    floor (0.17816162109375 × 8192)
    floor (1459.5)     		tx = 1459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09515380859375 × 213)
    floor (0.09515380859375 × 8192)
    floor (779.5)     		ty = 779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1459 / 779 ti = "13/1459/779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1459/779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1459 ÷ 213
    1459 ÷ 8192     		x = 0.1781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 779 ÷ 213
    779 ÷ 8192     		y = 0.0950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.02255367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0950927734375 × 2 - 1) × π
    0.809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54410713663562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02255367} λ = -2.02255367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54410713663562))-π/2
    2×atan(12.7318552025346)-π/2
    2×1.49241409419495-π/2
    2.9848281883899-1.57079632675     		φ = 1.41403186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02255367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41403186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.018058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1459 KachelY 779 -2.02255367 1.41403186 -115.883789 81.018058
    Oben rechts KachelX + 1 1460 KachelY 779 -2.02178668 1.41403186 -115.839844 81.018058
    Unten links KachelX 1459 KachelY + 1 780 -2.02255367 1.41391207 -115.883789 81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 1460 KachelY + 1 780 -2.02178668 1.41391207 -115.839844 81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41403186-1.41391207) × R
    0.000119789999999842 × 6371000     		dl = 763.182089998993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41403186-1.41391207) × R
    0.000119789999999842 × 6371000     		dr = 763.182089998993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02255367--2.02178668) × cos(1.41403186) × R
    0.000766990000000245 × 0.156123171606537 × 6371000     		do = 762.894830469106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02255367--2.02178668) × cos(1.41391207) × R
    0.000766990000000245 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 763.473000188978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41403186)-sin(1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156123171606537-0.156241491572525)×R²
    abs(-2.02178668--2.02255367)×0.000118319965987795×R²
    0.000766990000000245×0.000118319965987795×6371000²
    0.000766990000000245×0.000118319965987795×40589641000000     		ar = 582448.29625101m²