Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1459 / 1964
↖ ↑ ↗
← N 67.941650°
W115.883789°		 ← 1 835.13 m → N 67.941650°
W115.839844°		 →
↑
1 835.74 m
↓
↑
1 835.74 m
↓
N 67.925141°
W115.883789°		 ← 1 836.43 m →
3 370 011 m²		 N 67.925141°
W115.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17816162109375 y=0.23980712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17816162109375 × 213)
    floor (0.17816162109375 × 8192)
    floor (1459.5)     		tx = 1459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23980712890625 × 213)
    floor (0.23980712890625 × 8192)
    floor (1964.5)     		ty = 1964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1459 / 1964 ti = "13/1459/1964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1459/1964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1459 ÷ 213
    1459 ÷ 8192     		x = 0.1781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1964 ÷ 213
    1964 ÷ 8192     		y = 0.23974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.02255367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23974609375 × 2 - 1) × π
    0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02255367} λ = -2.02255367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63522351983936))-π/2
    2×atan(5.13060466080091)-π/2
    2×1.37830090956584-π/2
    2.75660181913168-1.57079632675     		φ = 1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02255367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1459 KachelY 1964 -2.02255367 1.18580549 -115.883789 67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 1460 KachelY 1964 -2.02178668 1.18580549 -115.839844 67.941650
    Unten links KachelX 1459 KachelY + 1 1965 -2.02255367 1.18551735 -115.883789 67.925141
    Unten rechts KachelX + 1 1460 KachelY + 1 1965 -2.02178668 1.18551735 -115.839844 67.925141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18580549-1.18551735) × R
    0.000288139999999881 × 6371000     		dl = 1835.73993999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18580549-1.18551735) × R
    0.000288139999999881 × 6371000     		dr = 1835.73993999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02255367--2.02178668) × cos(1.18580549) × R
    0.000766990000000245 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 1835.12570336715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02255367--2.02178668) × cos(1.18551735) × R
    0.000766990000000245 × 0.375817677385892 × 6371000     		du = 1836.43055881013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18580549)-sin(1.18551735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.375817677385892)×R²
    abs(-2.02178668--2.02255367)×0.000267033098285296×R²
    0.000766990000000245×0.000267033098285296×6371000²
    0.000766990000000245×0.000267033098285296×40589641000000     		ar = 3370011.25953079m²