Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14589 / 8945
↖ ↑ ↗
← N 62.990169°
W 19.720459°		 ← 554.80 m → N 62.990169°
W 19.709473°		 →
↑
554.79 m
↓
↑
554.79 m
↓
N 62.985180°
W 19.720459°		 ← 554.89 m →
307 822 m²		 N 62.985180°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445236206054688 y=0.272994995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445236206054688 × 215)
    floor (0.445236206054688 × 32768)
    floor (14589.5)     		tx = 14589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272994995117188 × 215)
    floor (0.272994995117188 × 32768)
    floor (8945.5)     		ty = 8945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14589 / 8945 ti = "15/14589/8945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14589/8945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14589 ÷ 215
    14589 ÷ 32768     		x = 0.445220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8945 ÷ 215
    8945 ÷ 32768     		y = 0.272979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.10955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34418694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272979736328125 × 2 - 1) × π
    0.45404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42641038509439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34418694} λ = -0.34418694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42641038509439))-π/2
    2×atan(4.16372616080341)-π/2
    2×1.33509109055964-π/2
    2.67018218111928-1.57079632675     		φ = 1.09938585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34418694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.720459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09938585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.990169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14589 KachelY 8945 -0.34418694 1.09938585 -19.720459 62.990169
    Oben rechts KachelX + 1 14590 KachelY 8945 -0.34399519 1.09938585 -19.709473 62.990169
    Unten links KachelX 14589 KachelY + 1 8946 -0.34418694 1.09929877 -19.720459 62.985180
    Unten rechts KachelX + 1 14590 KachelY + 1 8946 -0.34399519 1.09929877 -19.709473 62.985180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09938585-1.09929877) × R
    8.70799999999061e-05 × 6371000     		dl = 554.786679999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09938585-1.09929877) × R
    8.70799999999061e-05 × 6371000     		dr = 554.786679999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34418694--0.34399519) × cos(1.09938585) × R
    0.000191749999999991 × 0.454143370847611 × 6371000     		do = 554.799366954721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34418694--0.34399519) × cos(1.09929877) × R
    0.000191749999999991 × 0.454220951189522 × 6371000     		du = 554.894142145427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09938585)-sin(1.09929877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454143370847611-0.454220951189522)×R²
    abs(-0.34399519--0.34418694)×7.75803419107435e-05×R²
    0.000191749999999991×7.75803419107435e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.75803419107435e-05×40589641000000     		ar = 307821.589060094m²