Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14588 / 20380
↖ ↑ ↗
← S 40.145289°
W 19.731445°		 ← 933.84 m → S 40.145289°
W 19.720459°		 →
↑
933.73 m
↓
↑
933.73 m
↓
S 40.153687°
W 19.731445°		 ← 933.72 m →
871 900 m²		 S 40.153687°
W 19.720459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445205688476562 y=0.621963500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445205688476562 × 215)
    floor (0.445205688476562 × 32768)
    floor (14588.5)     		tx = 14588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621963500976562 × 215)
    floor (0.621963500976562 × 32768)
    floor (20380.5)     		ty = 20380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14588 / 20380 ti = "15/14588/20380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14588/20380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14588 ÷ 215
    14588 ÷ 32768     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20380 ÷ 215
    20380 ÷ 32768     		y = 0.6219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.766223403526978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766223403526978))-π/2
    2×atan(0.464764987896383)-π/2
    2×0.435064424718223-π/2
    0.870128849436445-1.57079632675     		φ = -0.70066748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70066748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.145289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14588 KachelY 20380 -0.34437869 -0.70066748 -19.731445 -40.145289
    Oben rechts KachelX + 1 14589 KachelY 20380 -0.34418694 -0.70066748 -19.720459 -40.145289
    Unten links KachelX 14588 KachelY + 1 20381 -0.34437869 -0.70081404 -19.731445 -40.153687
    Unten rechts KachelX + 1 14589 KachelY + 1 20381 -0.34418694 -0.70081404 -19.720459 -40.153687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70066748--0.70081404) × R
    0.000146560000000018 × 6371000     		dl = 933.733760000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70066748--0.70081404) × R
    0.000146560000000018 × 6371000     		dr = 933.733760000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34418694) × cos(-0.70066748) × R
    0.000191749999999991 × 0.764412014514649 × 6371000     		do = 933.835720102619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34418694) × cos(-0.70081404) × R
    0.000191749999999991 × 0.764317514960711 × 6371000     		du = 933.720275738421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70066748)-sin(-0.70081404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764412014514649-0.764317514960711)×R²
    abs(-0.34418694--0.34437869)×9.44995539379212e-05×R²
    0.000191749999999991×9.44995539379212e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.44995539379212e-05×40589641000000     		ar = 871900.042564023m²