Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14588 / 18188
↖ ↑ ↗
← N 62.237233°
W 99.865723°		 ← 284.51 m → N 62.237233°
W 99.860230°		 →
↑
284.53 m
↓
↑
284.53 m
↓
N 62.234674°
W 99.865723°		 ← 284.54 m →
80 955 m²		 N 62.234674°
W 99.860230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222602844238281 y=0.277534484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222602844238281 × 216)
    floor (0.222602844238281 × 65536)
    floor (14588.5)     		tx = 14588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277534484863281 × 216)
    floor (0.277534484863281 × 65536)
    floor (18188.5)     		ty = 18188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14588 / 18188 ti = "16/14588/18188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14588/18188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14588 ÷ 216
    14588 ÷ 65536     		x = 0.22259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18188 ÷ 216
    18188 ÷ 65536     		y = 0.27752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.5548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74298567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27752685546875 × 2 - 1) × π
    0.4449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.39783999292084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74298567} λ = -1.74298567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39783999292084))-π/2
    2×atan(4.04645015943379)-π/2
    2×1.32852047905054-π/2
    2.65704095810107-1.57079632675     		φ = 1.08624463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74298567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.865723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08624463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.237233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14588 KachelY 18188 -1.74298567 1.08624463 -99.865723 62.237233
    Oben rechts KachelX + 1 14589 KachelY 18188 -1.74288980 1.08624463 -99.860230 62.237233
    Unten links KachelX 14588 KachelY + 1 18189 -1.74298567 1.08619997 -99.865723 62.234674
    Unten rechts KachelX + 1 14589 KachelY + 1 18189 -1.74288980 1.08619997 -99.860230 62.234674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08624463-1.08619997) × R
    4.46599999999187e-05 × 6371000     		dl = 284.528859999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08624463-1.08619997) × R
    4.46599999999187e-05 × 6371000     		dr = 284.528859999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74298567--1.74288980) × cos(1.08624463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465811709998508 × 6371000     		do = 284.512095589869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74298567--1.74288980) × cos(1.08619997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465851228447277 × 6371000     		du = 284.536232975067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08624463)-sin(1.08619997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465811709998508-0.465851228447277)×R²
    abs(-1.74288980--1.74298567)×3.95184487697042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95184487697042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95184487697042e-05×40589641000000     		ar = 80955.3361188563m²