Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14585 / 9609
↖ ↑ ↗
← N 59.484148°
W 19.764404°		 ← 620.32 m → N 59.484148°
W 19.753418°		 →
↑
620.34 m
↓
↑
620.34 m
↓
N 59.478569°
W 19.764404°		 ← 620.42 m →
384 844 m²		 N 59.478569°
W 19.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445114135742188 y=0.293258666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445114135742188 × 215)
    floor (0.445114135742188 × 32768)
    floor (14585.5)     		tx = 14585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293258666992188 × 215)
    floor (0.293258666992188 × 32768)
    floor (9609.5)     		ty = 9609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14585 / 9609 ti = "15/14585/9609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14585/9609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14585 ÷ 215
    14585 ÷ 32768     		x = 0.445098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9609 ÷ 215
    9609 ÷ 32768     		y = 0.293243408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.10980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34495393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293243408203125 × 2 - 1) × π
    0.41351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29908997970352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34495393} λ = -0.34495393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29908997970352))-π/2
    2×atan(3.6659590520572)-π/2
    2×1.30449528013909-π/2
    2.60899056027818-1.57079632675     		φ = 1.03819423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34495393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.764404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03819423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.484148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14585 KachelY 9609 -0.34495393 1.03819423 -19.764404 59.484148
    Oben rechts KachelX + 1 14586 KachelY 9609 -0.34476218 1.03819423 -19.753418 59.484148
    Unten links KachelX 14585 KachelY + 1 9610 -0.34495393 1.03809686 -19.764404 59.478569
    Unten rechts KachelX + 1 14586 KachelY + 1 9610 -0.34476218 1.03809686 -19.753418 59.478569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03819423-1.03809686) × R
    9.73699999999855e-05 × 6371000     		dl = 620.344269999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03819423-1.03809686) × R
    9.73699999999855e-05 × 6371000     		dr = 620.344269999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34495393--0.34476218) × cos(1.03819423) × R
    0.000191750000000046 × 0.507776734725241 × 6371000     		do = 620.319989377341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34495393--0.34476218) × cos(1.03809686) × R
    0.000191750000000046 × 0.507860615473154 × 6371000     		du = 620.422461391311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03819423)-sin(1.03809686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507776734725241-0.507860615473154)×R²
    abs(-0.34476218--0.34495393)×8.38807479126569e-05×R²
    0.000191750000000046×8.38807479126569e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.38807479126569e-05×40589641000000     		ar = 384843.735244193m²