Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14584 / 8967
↖ ↑ ↗
← N 62.880197°
W 19.775391°		 ← 556.89 m → N 62.880197°
W 19.764404°		 →
↑
556.89 m
↓
↑
556.89 m
↓
N 62.875189°
W 19.775391°		 ← 556.98 m →
310 151 m²		 N 62.875189°
W 19.764404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445083618164062 y=0.273666381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445083618164062 × 215)
    floor (0.445083618164062 × 32768)
    floor (14584.5)     		tx = 14584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273666381835938 × 215)
    floor (0.273666381835938 × 32768)
    floor (8967.5)     		ty = 8967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14584 / 8967 ti = "15/14584/8967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14584/8967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14584 ÷ 215
    14584 ÷ 32768     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8967 ÷ 215
    8967 ÷ 32768     		y = 0.273651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273651123046875 × 2 - 1) × π
    0.45269775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42219193792783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42219193792783))-π/2
    2×atan(4.14619869730957)-π/2
    2×1.33413139895561-π/2
    2.66826279791121-1.57079632675     		φ = 1.09746647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09746647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.880197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14584 KachelY 8967 -0.34514568 1.09746647 -19.775391 62.880197
    Oben rechts KachelX + 1 14585 KachelY 8967 -0.34495393 1.09746647 -19.764404 62.880197
    Unten links KachelX 14584 KachelY + 1 8968 -0.34514568 1.09737906 -19.775391 62.875189
    Unten rechts KachelX + 1 14585 KachelY + 1 8968 -0.34495393 1.09737906 -19.764404 62.875189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09746647-1.09737906) × R
    8.7410000000121e-05 × 6371000     		dl = 556.889110000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09746647-1.09737906) × R
    8.7410000000121e-05 × 6371000     		dr = 556.889110000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34495393) × cos(1.09746647) × R
    0.000191749999999991 × 0.455852563828246 × 6371000     		do = 556.887384185688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34495393) × cos(1.09737906) × R
    0.000191749999999991 × 0.455930361820595 × 6371000     		du = 556.982425266713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09746647)-sin(1.09737906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455852563828246-0.455930361820595)×R²
    abs(-0.34495393--0.34514568)×7.77979923484162e-05×R²
    0.000191749999999991×7.77979923484162e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.77979923484162e-05×40589641000000     		ar = 310150.98361872m²