Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14584 / 20411
↖ ↑ ↗
← S 40.405131°
W 19.775391°		 ← 930.25 m → S 40.405131°
W 19.764404°		 →
↑
930.17 m
↓
↑
930.17 m
↓
S 40.413496°
W 19.775391°		 ← 930.14 m →
865 237 m²		 S 40.413496°
W 19.764404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445083618164062 y=0.622909545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445083618164062 × 215)
    floor (0.445083618164062 × 32768)
    floor (14584.5)     		tx = 14584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622909545898438 × 215)
    floor (0.622909545898438 × 32768)
    floor (20411.5)     		ty = 20411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14584 / 20411 ti = "15/14584/20411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14584/20411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14584 ÷ 215
    14584 ÷ 32768     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20411 ÷ 215
    20411 ÷ 32768     		y = 0.622894287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.24578857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.772167579079865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772167579079865))-π/2
    2×atan(0.462010537795263)-π/2
    2×0.432796880720604-π/2
    0.865593761441208-1.57079632675     		φ = -0.70520257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70520257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.405131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14584 KachelY 20411 -0.34514568 -0.70520257 -19.775391 -40.405131
    Oben rechts KachelX + 1 14585 KachelY 20411 -0.34495393 -0.70520257 -19.764404 -40.405131
    Unten links KachelX 14584 KachelY + 1 20412 -0.34514568 -0.70534857 -19.775391 -40.413496
    Unten rechts KachelX + 1 14585 KachelY + 1 20412 -0.34495393 -0.70534857 -19.764404 -40.413496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70520257--0.70534857) × R
    0.000145999999999979 × 6371000     		dl = 930.165999999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70520257--0.70534857) × R
    0.000145999999999979 × 6371000     		dr = 930.165999999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34495393) × cos(-0.70520257) × R
    0.000191749999999991 × 0.761480263923896 × 6371000     		do = 930.254178509745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34495393) × cos(-0.70534857) × R
    0.000191749999999991 × 0.761385620346375 × 6371000     		du = 930.138558200685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70520257)-sin(-0.70534857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761480263923896-0.761385620346375)×R²
    abs(-0.34495393--0.34514568)×9.46435775205368e-05×R²
    0.000191749999999991×9.46435775205368e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.46435775205368e-05×40589641000000     		ar = 865237.036704299m²