Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14584 / 10425
↖ ↑ ↗
← N 76.607454°
W 99.887696°		 ← 141.49 m → N 76.607454°
W 99.882202°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
N 76.606182°
W 99.887696°		 ← 141.50 m →
20 021 m²		 N 76.606182°
W 99.882202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222541809082031 y=0.159080505371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222541809082031 × 216)
    floor (0.222541809082031 × 65536)
    floor (14584.5)     		tx = 14584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159080505371094 × 216)
    floor (0.159080505371094 × 65536)
    floor (10425.5)     		ty = 10425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14584 / 10425 ti = "16/14584/10425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14584/10425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14584 ÷ 216
    14584 ÷ 65536     		x = 0.2225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10425 ÷ 216
    10425 ÷ 65536     		y = 0.159072875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74336917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159072875976562 × 2 - 1) × π
    0.681854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14210829642183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74336917} λ = -1.74336917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14210829642183))-π/2
    2×atan(8.51737586574246)-π/2
    2×1.45392431807445-π/2
    2.90784863614891-1.57079632675     		φ = 1.33705231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74336917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.887696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33705231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.607454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14584 KachelY 10425 -1.74336917 1.33705231 -99.887696 76.607454
    Oben rechts KachelX + 1 14585 KachelY 10425 -1.74327329 1.33705231 -99.882202 76.607454
    Unten links KachelX 14584 KachelY + 1 10426 -1.74336917 1.33703010 -99.887696 76.606182
    Unten rechts KachelX + 1 14585 KachelY + 1 10426 -1.74327329 1.33703010 -99.882202 76.606182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33705231-1.33703010) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33705231-1.33703010) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74336917--1.74327329) × cos(1.33705231) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.231621340499962 × 6371000     		do = 141.486238643893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74336917--1.74327329) × cos(1.33703010) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.231642946464561 × 6371000     		du = 141.499436679345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33705231)-sin(1.33703010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231621340499962-0.231642946464561)×R²
    abs(-1.74327329--1.74336917)×2.16059645986033e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.16059645986033e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.16059645986033e-05×40589641000000     		ar = 20021.2237956384m²