Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14583 / 8970
↖ ↑ ↗
← N 62.865169°
W 19.786377°		 ← 557.14 m → N 62.865169°
W 19.775391°		 →
↑
557.21 m
↓
↑
557.21 m
↓
N 62.860158°
W 19.786377°		 ← 557.24 m →
310 471 m²		 N 62.860158°
W 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445053100585938 y=0.273757934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445053100585938 × 215)
    floor (0.445053100585938 × 32768)
    floor (14583.5)     		tx = 14583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273757934570312 × 215)
    floor (0.273757934570312 × 32768)
    floor (8970.5)     		ty = 8970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14583 / 8970 ti = "15/14583/8970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14583/8970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14583 ÷ 215
    14583 ÷ 32768     		x = 0.445037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8970 ÷ 215
    8970 ÷ 32768     		y = 0.27374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445037841796875 × 2 - 1) × π
    -0.10992431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34533742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27374267578125 × 2 - 1) × π
    0.4525146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42161669513239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34533742} λ = -0.34533742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42161669513239))-π/2
    2×atan(4.14381431224639)-π/2
    2×1.33400025243533-π/2
    2.66800050487065-1.57079632675     		φ = 1.09720418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34533742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.786377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09720418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.865169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14583 KachelY 8970 -0.34533742 1.09720418 -19.786377 62.865169
    Oben rechts KachelX + 1 14584 KachelY 8970 -0.34514568 1.09720418 -19.775391 62.865169
    Unten links KachelX 14583 KachelY + 1 8971 -0.34533742 1.09711672 -19.786377 62.860158
    Unten rechts KachelX + 1 14584 KachelY + 1 8971 -0.34514568 1.09711672 -19.775391 62.860158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09720418-1.09711672) × R
    8.74600000000392e-05 × 6371000     		dl = 557.20766000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09720418-1.09711672) × R
    8.74600000000392e-05 × 6371000     		dr = 557.20766000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34533742--0.34514568) × cos(1.09720418) × R
    0.000191739999999996 × 0.456086000750221 × 6371000     		do = 557.14350265288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34533742--0.34514568) × cos(1.09711672) × R
    0.000191739999999996 × 0.456163832782567 × 6371000     		du = 557.238580359821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09720418)-sin(1.09711672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456086000750221-0.456163832782567)×R²
    abs(-0.34514568--0.34533742)×7.78320323453485e-05×R²
    0.000191739999999996×7.78320323453485e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.78320323453485e-05×40589641000000     		ar = 310471.116607976m²