Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14583 / 16125
↖ ↑ ↗
← N 79.304169°
W139.946594°		 ← 56.69 m → N 79.304169°
W139.943848°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.303659°
W139.946594°		 ← 56.69 m →
3 214 m²		 N 79.303659°
W139.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111263275146484 y=0.123027801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111263275146484 × 217)
    floor (0.111263275146484 × 131072)
    floor (14583.5)     		tx = 14583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123027801513672 × 217)
    floor (0.123027801513672 × 131072)
    floor (16125.5)     		ty = 16125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14583 / 16125 ti = "17/14583/16125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14583/16125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14583 ÷ 217
    14583 ÷ 131072     		x = 0.111259460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16125 ÷ 217
    16125 ÷ 131072     		y = 0.123023986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111259460449219 × 2 - 1) × π
    -0.777481079101562 × 3.1415926535     		Λ = -2.44252885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123023986816406 × 2 - 1) × π
    0.753952026367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36861014712659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44252885} λ = -2.44252885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36861014712659))-π/2
    2×atan(10.6825348099503)-π/2
    2×1.47745759306635-π/2
    2.95491518613269-1.57079632675     		φ = 1.38411886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44252885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.946594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38411886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.304169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14583 KachelY 16125 -2.44252885 1.38411886 -139.946594 79.304169
    Oben rechts KachelX + 1 14584 KachelY 16125 -2.44248091 1.38411886 -139.943848 79.304169
    Unten links KachelX 14583 KachelY + 1 16126 -2.44252885 1.38410996 -139.946594 79.303659
    Unten rechts KachelX + 1 14584 KachelY + 1 16126 -2.44248091 1.38410996 -139.943848 79.303659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38411886-1.38410996) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38411886-1.38410996) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44252885--2.44248091) × cos(1.38411886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185595116873654 × 6371000     		do = 56.6855259114852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44252885--2.44248091) × cos(1.38410996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185603862240406 × 6371000     		du = 56.688196971597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38411886)-sin(1.38410996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185595116873654-0.185603862240406)×R²
    abs(-2.44248091--2.44252885)×8.7453667518278e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7453667518278e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7453667518278e-06×40589641000000     		ar = 3214.25274882317m²