Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14582 / 9035
↖ ↑ ↗
← N 62.537662°
W 19.797363°		 ← 563.38 m → N 62.537662°
W 19.786377°		 →
↑
563.45 m
↓
↑
563.45 m
↓
N 62.532594°
W 19.797363°		 ← 563.47 m →
317 463 m²		 N 62.532594°
W 19.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445022583007812 y=0.275741577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445022583007812 × 215)
    floor (0.445022583007812 × 32768)
    floor (14582.5)     		tx = 14582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275741577148438 × 215)
    floor (0.275741577148438 × 32768)
    floor (9035.5)     		ty = 9035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14582 / 9035 ti = "15/14582/9035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14582/9035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14582 ÷ 215
    14582 ÷ 32768     		x = 0.44500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9035 ÷ 215
    9035 ÷ 32768     		y = 0.275726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34552917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275726318359375 × 2 - 1) × π
    0.44854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40915310123117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34552917} λ = -0.34552917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40915310123117))-π/2
    2×atan(4.09248801295417)-π/2
    2×1.33114221140656-π/2
    2.66228442281312-1.57079632675     		φ = 1.09148810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34552917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09148810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.537662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14582 KachelY 9035 -0.34552917 1.09148810 -19.797363 62.537662
    Oben rechts KachelX + 1 14583 KachelY 9035 -0.34533742 1.09148810 -19.786377 62.537662
    Unten links KachelX 14582 KachelY + 1 9036 -0.34552917 1.09139966 -19.797363 62.532594
    Unten rechts KachelX + 1 14583 KachelY + 1 9036 -0.34533742 1.09139966 -19.786377 62.532594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09148810-1.09139966) × R
    8.84400000000785e-05 × 6371000     		dl = 563.4512400005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09148810-1.09139966) × R
    8.84400000000785e-05 × 6371000     		dr = 563.4512400005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34552917--0.34533742) × cos(1.09148810) × R
    0.000191749999999991 × 0.461165465777535 × 6371000     		do = 563.37783373834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34552917--0.34533742) × cos(1.09139966) × R
    0.000191749999999991 × 0.461243938037942 × 6371000     		du = 563.47369853169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09148810)-sin(1.09139966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461165465777535-0.461243938037942)×R²
    abs(-0.34533742--0.34552917)×7.84722604073029e-05×R²
    0.000191749999999991×7.84722604073029e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.84722604073029e-05×40589641000000     		ar = 317462.946784297m²