Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14582 / 21671
↖ ↑ ↗
← S 50.113534°
W 19.797363°		 ← 783.40 m → S 50.113534°
W 19.786377°		 →
↑
783.31 m
↓
↑
783.31 m
↓
S 50.120578°
W 19.797363°		 ← 783.28 m →
613 602 m²		 S 50.120578°
W 19.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445022583007812 y=0.661361694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445022583007812 × 215)
    floor (0.445022583007812 × 32768)
    floor (14582.5)     		tx = 14582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661361694335938 × 215)
    floor (0.661361694335938 × 32768)
    floor (21671.5)     		ty = 21671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14582 / 21671 ti = "15/14582/21671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14582/21671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14582 ÷ 215
    14582 ÷ 32768     		x = 0.44500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21671 ÷ 215
    21671 ÷ 32768     		y = 0.661346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34552917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.32269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01376955316495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34552917} λ = -0.34552917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01376955316495))-π/2
    2×atan(0.362848621206381)-π/2
    2×0.348075084316269-π/2
    0.696150168632537-1.57079632675     		φ = -0.87464616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34552917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87464616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.113534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14582 KachelY 21671 -0.34552917 -0.87464616 -19.797363 -50.113534
    Oben rechts KachelX + 1 14583 KachelY 21671 -0.34533742 -0.87464616 -19.786377 -50.113534
    Unten links KachelX 14582 KachelY + 1 21672 -0.34552917 -0.87476911 -19.797363 -50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 14583 KachelY + 1 21672 -0.34533742 -0.87476911 -19.786377 -50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87464616--0.87476911) × R
    0.000122950000000066 × 6371000     		dl = 783.314450000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87464616--0.87476911) × R
    0.000122950000000066 × 6371000     		dr = 783.314450000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34552917--0.34533742) × cos(-0.87464616) × R
    0.000191749999999991 × 0.641268405623206 × 6371000     		do = 783.398654094191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34552917--0.34533742) × cos(-0.87476911) × R
    0.000191749999999991 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 783.283396794579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87464616)-sin(-0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641268405623206-0.641174059195149)×R²
    abs(-0.34533742--0.34552917)×9.43464280571682e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43464280571682e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43464280571682e-05×40589641000000     		ar = 613602.345281499m²