Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14581 / 7091
↖ ↑ ↗
← N 70.891482°
W 19.808350°		 ← 399.91 m → N 70.891482°
W 19.797363°		 →
↑
399.97 m
↓
↑
399.97 m
↓
N 70.887885°
W 19.808350°		 ← 399.99 m →
159 969 m²		 N 70.887885°
W 19.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444992065429688 y=0.216415405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444992065429688 × 215)
    floor (0.444992065429688 × 32768)
    floor (14581.5)     		tx = 14581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216415405273438 × 215)
    floor (0.216415405273438 × 32768)
    floor (7091.5)     		ty = 7091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14581 / 7091 ti = "15/14581/7091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14581/7091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14581 ÷ 215
    14581 ÷ 32768     		x = 0.444976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7091 ÷ 215
    7091 ÷ 32768     		y = 0.216400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.11004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34572092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216400146484375 × 2 - 1) × π
    0.56719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78191043267673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34572092} λ = -0.34572092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78191043267673))-π/2
    2×atan(5.94119583821157)-π/2
    2×1.40404304789945-π/2
    2.8080860957989-1.57079632675     		φ = 1.23728977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34572092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.808350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23728977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.891482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14581 KachelY 7091 -0.34572092 1.23728977 -19.808350 70.891482
    Oben rechts KachelX + 1 14582 KachelY 7091 -0.34552917 1.23728977 -19.797363 70.891482
    Unten links KachelX 14581 KachelY + 1 7092 -0.34572092 1.23722699 -19.808350 70.887885
    Unten rechts KachelX + 1 14582 KachelY + 1 7092 -0.34552917 1.23722699 -19.797363 70.887885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23728977-1.23722699) × R
    6.2780000000151e-05 × 6371000     		dl = 399.971380000962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23728977-1.23722699) × R
    6.2780000000151e-05 × 6371000     		dr = 399.971380000962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34572092--0.34552917) × cos(1.23728977) × R
    0.000191749999999991 × 0.32735838059964 × 6371000     		do = 399.913846556939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34572092--0.34552917) × cos(1.23722699) × R
    0.000191749999999991 × 0.327417700792455 × 6371000     		du = 399.9863144328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23728977)-sin(1.23722699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32735838059964-0.327417700792455)×R²
    abs(-0.34552917--0.34572092)×5.93201928151821e-05×R²
    0.000191749999999991×5.93201928151821e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.93201928151821e-05×40589641000000     		ar = 159968.5856793m²