Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14580 / 9604
↖ ↑ ↗
← N 59.512030°
W 19.819336°		 ← 619.81 m → N 59.512030°
W 19.808350°		 →
↑
619.90 m
↓
↑
619.90 m
↓
N 59.506455°
W 19.819336°		 ← 619.91 m →
384 250 m²		 N 59.506455°
W 19.808350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444961547851562 y=0.293106079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444961547851562 × 215)
    floor (0.444961547851562 × 32768)
    floor (14580.5)     		tx = 14580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293106079101562 × 215)
    floor (0.293106079101562 × 32768)
    floor (9604.5)     		ty = 9604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14580 / 9604 ti = "15/14580/9604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14580/9604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14580 ÷ 215
    14580 ÷ 32768     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9604 ÷ 215
    9604 ÷ 32768     		y = 0.2930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2930908203125 × 2 - 1) × π
    0.413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30004871769592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30004871769592))-π/2
    2×atan(3.669475431653)-π/2
    2×1.30473859205707-π/2
    2.60947718411414-1.57079632675     		φ = 1.03868086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03868086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.512030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14580 KachelY 9604 -0.34591267 1.03868086 -19.819336 59.512030
    Oben rechts KachelX + 1 14581 KachelY 9604 -0.34572092 1.03868086 -19.808350 59.512030
    Unten links KachelX 14580 KachelY + 1 9605 -0.34591267 1.03858356 -19.819336 59.506455
    Unten rechts KachelX + 1 14581 KachelY + 1 9605 -0.34572092 1.03858356 -19.808350 59.506455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03868086-1.03858356) × R
    9.72999999999669e-05 × 6371000     		dl = 619.898299999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03868086-1.03858356) × R
    9.72999999999669e-05 × 6371000     		dr = 619.898299999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34572092) × cos(1.03868086) × R
    0.000191749999999991 × 0.507357448370616 × 6371000     		do = 619.807772709363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34572092) × cos(1.03858356) × R
    0.000191749999999991 × 0.507441292852609 × 6371000     		du = 619.910200419461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03868086)-sin(1.03858356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507357448370616-0.507441292852609)×R²
    abs(-0.34572092--0.34591267)×8.38444819929451e-05×R²
    0.000191749999999991×8.38444819929451e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.38444819929451e-05×40589641000000     		ar = 384249.532314075m²