Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14580 / 8980
↖ ↑ ↗
← N 62.815019°
W 19.819336°		 ← 558.12 m → N 62.815019°
W 19.808350°		 →
↑
558.16 m
↓
↑
558.16 m
↓
N 62.809999°
W 19.819336°		 ← 558.22 m →
311 551 m²		 N 62.809999°
W 19.808350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444961547851562 y=0.274063110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444961547851562 × 215)
    floor (0.444961547851562 × 32768)
    floor (14580.5)     		tx = 14580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274063110351562 × 215)
    floor (0.274063110351562 × 32768)
    floor (8980.5)     		ty = 8980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14580 / 8980 ti = "15/14580/8980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14580/8980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14580 ÷ 215
    14580 ÷ 32768     		x = 0.4449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8980 ÷ 215
    8980 ÷ 32768     		y = 0.2740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34591267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2740478515625 × 2 - 1) × π
    0.451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41969921914758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34591267} λ = -0.34591267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41969921914758))-π/2
    2×atan(4.13587626076089)-π/2
    2×1.3335626122177-π/2
    2.66712522443539-1.57079632675     		φ = 1.09632890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34591267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09632890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.815019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14580 KachelY 8980 -0.34591267 1.09632890 -19.819336 62.815019
    Oben rechts KachelX + 1 14581 KachelY 8980 -0.34572092 1.09632890 -19.808350 62.815019
    Unten links KachelX 14580 KachelY + 1 8981 -0.34591267 1.09624129 -19.819336 62.809999
    Unten rechts KachelX + 1 14581 KachelY + 1 8981 -0.34572092 1.09624129 -19.808350 62.809999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09632890-1.09624129) × R
    8.76100000000157e-05 × 6371000     		dl = 558.1633100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09632890-1.09624129) × R
    8.76100000000157e-05 × 6371000     		dr = 558.1633100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34591267--0.34572092) × cos(1.09632890) × R
    0.000191749999999991 × 0.456864768867899 × 6371000     		do = 558.123933591176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34591267--0.34572092) × cos(1.09624129) × R
    0.000191749999999991 × 0.45694269937759 × 6371000     		du = 558.219136560587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09632890)-sin(1.09624129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456864768867899-0.45694269937759)×R²
    abs(-0.34572092--0.34591267)×7.79305096911265e-05×R²
    0.000191749999999991×7.79305096911265e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.79305096911265e-05×40589641000000     		ar = 311550.871764931m²