Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1458 / 777
↖ ↑ ↗
← N 81.031769°
W115.927734°		 ← 761.74 m → N 81.031769°
W115.883789°		 →
↑
762.04 m
↓
↑
762.04 m
↓
N 81.024916°
W115.927734°		 ← 762.32 m →
580 693 m²		 N 81.024916°
W115.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17803955078125 y=0.09490966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17803955078125 × 213)
    floor (0.17803955078125 × 8192)
    floor (1458.5)     		tx = 1458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09490966796875 × 213)
    floor (0.09490966796875 × 8192)
    floor (777.5)     		ty = 777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1458 / 777 ti = "13/1458/777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1458/777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1458 ÷ 213
    1458 ÷ 8192     		x = 0.177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 777 ÷ 213
    777 ÷ 8192     		y = 0.0948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.64404296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.02332066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0948486328125 × 2 - 1) × π
    0.810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54564111742346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02332066} λ = -2.02332066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54564111742346))-π/2
    2×atan(12.7514006111168)-π/2
    2×1.49253374849426-π/2
    2.98506749698853-1.57079632675     		φ = 1.41427117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02332066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41427117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.031769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1458 KachelY 777 -2.02332066 1.41427117 -115.927734 81.031769
    Oben rechts KachelX + 1 1459 KachelY 777 -2.02255367 1.41427117 -115.883789 81.031769
    Unten links KachelX 1458 KachelY + 1 778 -2.02332066 1.41415156 -115.927734 81.024916
    Unten rechts KachelX + 1 1459 KachelY + 1 778 -2.02255367 1.41415156 -115.883789 81.024916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41427117-1.41415156) × R
    0.000119609999999826 × 6371000     		dl = 762.035309998889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41427117-1.41415156) × R
    0.000119609999999826 × 6371000     		dr = 762.035309998889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02332066--2.02255367) × cos(1.41427117) × R
    0.000766989999999801 × 0.155886791654559 × 6371000     		do = 761.739761419435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02332066--2.02255367) × cos(1.41415156) × R
    0.000766989999999801 × 0.156004938298302 × 6371000     		du = 762.317084201321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41427117)-sin(1.41415156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155886791654559-0.156004938298302)×R²
    abs(-2.02255367--2.02332066)×0.000118146643742961×R²
    0.000766989999999801×0.000118146643742961×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118146643742961×40589641000000     		ar = 580692.566097256m²