Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14579 / 9038
↖ ↑ ↗
← N 62.522458°
W 19.830323°		 ← 563.67 m → N 62.522458°
W 19.819336°		 →
↑
563.71 m
↓
↑
563.71 m
↓
N 62.517389°
W 19.830323°		 ← 563.76 m →
317 769 m²		 N 62.517389°
W 19.819336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444931030273438 y=0.275833129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444931030273438 × 215)
    floor (0.444931030273438 × 32768)
    floor (14579.5)     		tx = 14579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275833129882812 × 215)
    floor (0.275833129882812 × 32768)
    floor (9038.5)     		ty = 9038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14579 / 9038 ti = "15/14579/9038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14579/9038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14579 ÷ 215
    14579 ÷ 32768     		x = 0.444915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9038 ÷ 215
    9038 ÷ 32768     		y = 0.27581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.11016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34610442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27581787109375 × 2 - 1) × π
    0.4483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40857785843573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34610442} λ = -0.34610442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40857785843573))-π/2
    2×atan(4.09013451569036)-π/2
    2×1.3310095364941-π/2
    2.6620190729882-1.57079632675     		φ = 1.09122275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34610442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.830323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09122275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.522458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14579 KachelY 9038 -0.34610442 1.09122275 -19.830323 62.522458
    Oben rechts KachelX + 1 14580 KachelY 9038 -0.34591267 1.09122275 -19.819336 62.522458
    Unten links KachelX 14579 KachelY + 1 9039 -0.34610442 1.09113427 -19.830323 62.517389
    Unten rechts KachelX + 1 14580 KachelY + 1 9039 -0.34591267 1.09113427 -19.819336 62.517389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09122275-1.09113427) × R
    8.84800000000574e-05 × 6371000     		dl = 563.706080000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09122275-1.09113427) × R
    8.84800000000574e-05 × 6371000     		dr = 563.706080000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34610442--0.34591267) × cos(1.09122275) × R
    0.000191750000000046 × 0.461400898350852 × 6371000     		do = 563.665447410797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34610442--0.34591267) × cos(1.09113427) × R
    0.000191750000000046 × 0.461479395271188 × 6371000     		du = 563.761342329683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09122275)-sin(1.09113427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461400898350852-0.461479395271188)×R²
    abs(-0.34591267--0.34610442)×7.84969203359576e-05×R²
    0.000191750000000046×7.84969203359576e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.84969203359576e-05×40589641000000     		ar = 317768.668273077m²