Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14579 / 9011
↖ ↑ ↗
← N 62.659009°
W 19.830323°		 ← 561.08 m → N 62.659009°
W 19.819336°		 →
↑
561.09 m
↓
↑
561.09 m
↓
N 62.653963°
W 19.830323°		 ← 561.18 m →
314 846 m²		 N 62.653963°
W 19.819336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444931030273438 y=0.275009155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444931030273438 × 215)
    floor (0.444931030273438 × 32768)
    floor (14579.5)     		tx = 14579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275009155273438 × 215)
    floor (0.275009155273438 × 32768)
    floor (9011.5)     		ty = 9011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14579 / 9011 ti = "15/14579/9011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14579/9011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14579 ÷ 215
    14579 ÷ 32768     		x = 0.444915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9011 ÷ 215
    9011 ÷ 32768     		y = 0.274993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.11016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34610442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274993896484375 × 2 - 1) × π
    0.45001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4137550435947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34610442} λ = -0.34610442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4137550435947))-π/2
    2×atan(4.11136480856171)-π/2
    2×1.33220117552552-π/2
    2.66440235105104-1.57079632675     		φ = 1.09360602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34610442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.830323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09360602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.659009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14579 KachelY 9011 -0.34610442 1.09360602 -19.830323 62.659009
    Oben rechts KachelX + 1 14580 KachelY 9011 -0.34591267 1.09360602 -19.819336 62.659009
    Unten links KachelX 14579 KachelY + 1 9012 -0.34610442 1.09351795 -19.830323 62.653963
    Unten rechts KachelX + 1 14580 KachelY + 1 9012 -0.34591267 1.09351795 -19.819336 62.653963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09360602-1.09351795) × R
    8.80699999998846e-05 × 6371000     		dl = 561.093969999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09360602-1.09351795) × R
    8.80699999998846e-05 × 6371000     		dr = 561.093969999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34610442--0.34591267) × cos(1.09360602) × R
    0.000191750000000046 × 0.459285172485027 × 6371000     		do = 561.080793650863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34610442--0.34591267) × cos(1.09351795) × R
    0.000191750000000046 × 0.459363402305207 × 6371000     		du = 561.176362269716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09360602)-sin(1.09351795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459285172485027-0.459363402305207)×R²
    abs(-0.34591267--0.34610442)×7.82298201797427e-05×R²
    0.000191750000000046×7.82298201797427e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.82298201797427e-05×40589641000000     		ar = 314845.861691088m²