Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14578 / 7086
↖ ↑ ↗
← N 70.909456°
W 19.841308°		 ← 399.53 m → N 70.909456°
W 19.830323°		 →
↑
399.59 m
↓
↑
399.59 m
↓
N 70.905863°
W 19.841308°		 ← 399.60 m →
159 663 m²		 N 70.905863°
W 19.830323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444900512695312 y=0.216262817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444900512695312 × 215)
    floor (0.444900512695312 × 32768)
    floor (14578.5)     		tx = 14578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216262817382812 × 215)
    floor (0.216262817382812 × 32768)
    floor (7086.5)     		ty = 7086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14578 / 7086 ti = "15/14578/7086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14578/7086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14578 ÷ 215
    14578 ÷ 32768     		x = 0.44488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7086 ÷ 215
    7086 ÷ 32768     		y = 0.21624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.1102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34629616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21624755859375 × 2 - 1) × π
    0.5675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78286917066913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34629616} λ = -0.34629616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78286917066913))-π/2
    2×atan(5.94689461976464)-π/2
    2×1.40419990229678-π/2
    2.80839980459357-1.57079632675     		φ = 1.23760348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34629616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.841308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23760348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.909456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14578 KachelY 7086 -0.34629616 1.23760348 -19.841308 70.909456
    Oben rechts KachelX + 1 14579 KachelY 7086 -0.34610442 1.23760348 -19.830323 70.909456
    Unten links KachelX 14578 KachelY + 1 7087 -0.34629616 1.23754076 -19.841308 70.905863
    Unten rechts KachelX + 1 14579 KachelY + 1 7087 -0.34610442 1.23754076 -19.830323 70.905863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23760348-1.23754076) × R
    6.27200000000716e-05 × 6371000     		dl = 399.589120000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23760348-1.23754076) × R
    6.27200000000716e-05 × 6371000     		dr = 399.589120000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34629616--0.34610442) × cos(1.23760348) × R
    0.000191739999999996 × 0.327061939837396 × 6371000     		do = 399.530865770305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34629616--0.34610442) × cos(1.23754076) × R
    0.000191739999999996 × 0.327121209776163 × 6371000     		du = 399.603268477761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23760348)-sin(1.23754076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327061939837396-0.327121209776163)×R²
    abs(-0.34610442--0.34629616)×5.92699387670925e-05×R²
    0.000191739999999996×5.92699387670925e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.92699387670925e-05×40589641000000     		ar = 159662.652785328m²