Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14576 / 7093
↖ ↑ ↗
← N 70.884288°
W 19.863281°		 ← 400.06 m → N 70.884288°
W 19.852295°		 →
↑
400.10 m
↓
↑
400.10 m
↓
N 70.880690°
W 19.863281°		 ← 400.13 m →
160 078 m²		 N 70.880690°
W 19.852295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444839477539062 y=0.216476440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444839477539062 × 215)
    floor (0.444839477539062 × 32768)
    floor (14576.5)     		tx = 14576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216476440429688 × 215)
    floor (0.216476440429688 × 32768)
    floor (7093.5)     		ty = 7093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14576 / 7093 ti = "15/14576/7093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14576/7093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14576 ÷ 215
    14576 ÷ 32768     		x = 0.44482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7093 ÷ 215
    7093 ÷ 32768     		y = 0.216461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216461181640625 × 2 - 1) × π
    0.56707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78152693747977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34667966} λ = -0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78152693747977))-π/2
    2×atan(5.93891785496915)-π/2
    2×1.40398026634189-π/2
    2.80796053268378-1.57079632675     		φ = 1.23716421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23716421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.884288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14576 KachelY 7093 -0.34667966 1.23716421 -19.863281 70.884288
    Oben rechts KachelX + 1 14577 KachelY 7093 -0.34648791 1.23716421 -19.852295 70.884288
    Unten links KachelX 14576 KachelY + 1 7094 -0.34667966 1.23710141 -19.863281 70.880690
    Unten rechts KachelX + 1 14577 KachelY + 1 7094 -0.34648791 1.23710141 -19.852295 70.880690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23716421-1.23710141) × R
    6.28000000000295e-05 × 6371000     		dl = 400.098800000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23716421-1.23710141) × R
    6.28000000000295e-05 × 6371000     		dr = 400.098800000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34667966--0.34648791) × cos(1.23716421) × R
    0.000191749999999991 × 0.32747701969481 × 6371000     		do = 400.058780732183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34667966--0.34648791) × cos(1.23710141) × R
    0.000191749999999991 × 0.327536356203241 × 6371000     		du = 400.131268539841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23716421)-sin(1.23710141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32747701969481-0.327536356203241)×R²
    abs(-0.34648791--0.34667966)×5.93365084314845e-05×R²
    0.000191749999999991×5.93365084314845e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.93365084314845e-05×40589641000000     		ar = 160077.539295758m²