Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14575 / 9579
↖ ↑ ↗
← N 59.651092°
W 19.874268°		 ← 617.25 m → N 59.651092°
W 19.863281°		 →
↑
617.29 m
↓
↑
617.29 m
↓
N 59.645540°
W 19.874268°		 ← 617.35 m →
381 052 m²		 N 59.645540°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444808959960938 y=0.292343139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444808959960938 × 215)
    floor (0.444808959960938 × 32768)
    floor (14575.5)     		tx = 14575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292343139648438 × 215)
    floor (0.292343139648438 × 32768)
    floor (9579.5)     		ty = 9579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14575 / 9579 ti = "15/14575/9579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14575/9579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14575 ÷ 215
    14575 ÷ 32768     		x = 0.444793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9579 ÷ 215
    9579 ÷ 32768     		y = 0.292327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.11041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34687141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292327880859375 × 2 - 1) × π
    0.41534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30484240765793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34687141} λ = -0.34687141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30484240765793))-π/2
    2×atan(3.68710798793402)-π/2
    2×1.30595213977709-π/2
    2.61190427955419-1.57079632675     		φ = 1.04110795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34687141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.874268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04110795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.651092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14575 KachelY 9579 -0.34687141 1.04110795 -19.874268 59.651092
    Oben rechts KachelX + 1 14576 KachelY 9579 -0.34667966 1.04110795 -19.863281 59.651092
    Unten links KachelX 14575 KachelY + 1 9580 -0.34687141 1.04101106 -19.874268 59.645540
    Unten rechts KachelX + 1 14576 KachelY + 1 9580 -0.34667966 1.04101106 -19.863281 59.645540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04110795-1.04101106) × R
    9.68900000000161e-05 × 6371000     		dl = 617.286190000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04110795-1.04101106) × R
    9.68900000000161e-05 × 6371000     		dr = 617.286190000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34687141--0.34667966) × cos(1.04110795) × R
    0.000191749999999991 × 0.505264445958575 × 6371000     		do = 617.250878812469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34687141--0.34667966) × cos(1.04101106) × R
    0.000191749999999991 × 0.505348056223474 × 6371000     		du = 617.353020393772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04110795)-sin(1.04101106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505264445958575-0.505348056223474)×R²
    abs(-0.34667966--0.34687141)×8.36102648988923e-05×R²
    0.000191749999999991×8.36102648988923e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.36102648988923e-05×40589641000000     		ar = 381051.968848308m²