Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14575 / 7089
↖ ↑ ↗
← N 70.898674°
W 19.874268°		 ← 399.77 m → N 70.898674°
W 19.863281°		 →
↑
399.84 m
↓
↑
399.84 m
↓
N 70.895078°
W 19.874268°		 ← 399.84 m →
159 860 m²		 N 70.895078°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444808959960938 y=0.216354370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444808959960938 × 215)
    floor (0.444808959960938 × 32768)
    floor (14575.5)     		tx = 14575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216354370117188 × 215)
    floor (0.216354370117188 × 32768)
    floor (7089.5)     		ty = 7089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14575 / 7089 ti = "15/14575/7089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14575/7089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14575 ÷ 215
    14575 ÷ 32768     		x = 0.444793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7089 ÷ 215
    7089 ÷ 32768     		y = 0.216339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.11041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34687141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216339111328125 × 2 - 1) × π
    0.56732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78229392787369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34687141} λ = -0.34687141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78229392787369))-π/2
    2×atan(5.94347469521716)-π/2
    2×1.40410580671131-π/2
    2.80821161342262-1.57079632675     		φ = 1.23741529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34687141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.874268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23741529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.898674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14575 KachelY 7089 -0.34687141 1.23741529 -19.874268 70.898674
    Oben rechts KachelX + 1 14576 KachelY 7089 -0.34667966 1.23741529 -19.863281 70.898674
    Unten links KachelX 14575 KachelY + 1 7090 -0.34687141 1.23735253 -19.874268 70.895078
    Unten rechts KachelX + 1 14576 KachelY + 1 7090 -0.34667966 1.23735253 -19.863281 70.895078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23741529-1.23735253) × R
    6.27600000000506e-05 × 6371000     		dl = 399.843960000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23741529-1.23735253) × R
    6.27600000000506e-05 × 6371000     		dr = 399.843960000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34687141--0.34667966) × cos(1.23741529) × R
    0.000191749999999991 × 0.327239774141217 × 6371000     		do = 399.768952252026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34687141--0.34667966) × cos(1.23735253) × R
    0.000191749999999991 × 0.327299078015015 × 6371000     		du = 399.841400191934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23741529)-sin(1.23735253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327239774141217-0.327299078015015)×R²
    abs(-0.34667966--0.34687141)×5.93038737973228e-05×R²
    0.000191749999999991×5.93038737973228e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.93038737973228e-05×40589641000000     		ar = 159859.684941917m²