Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14575 / 10607
↖ ↑ ↗
← N 76.373914°
W 99.937134°		 ← 143.89 m → N 76.373914°
W 99.931641°		 →
↑
143.92 m
↓
↑
143.92 m
↓
N 76.372620°
W 99.937134°		 ← 143.91 m →
20 710 m²		 N 76.372620°
W 99.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222404479980469 y=0.161857604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222404479980469 × 216)
    floor (0.222404479980469 × 65536)
    floor (14575.5)     		tx = 14575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161857604980469 × 216)
    floor (0.161857604980469 × 65536)
    floor (10607.5)     		ty = 10607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14575 / 10607 ti = "16/14575/10607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14575/10607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14575 ÷ 216
    14575 ÷ 65536     		x = 0.222396850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10607 ÷ 216
    10607 ÷ 65536     		y = 0.161849975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222396850585938 × 2 - 1) × π
    -0.555206298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74423203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161849975585938 × 2 - 1) × π
    0.676300048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12465926496013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74423203} λ = -1.74423203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12465926496013))-π/2
    2×atan(8.37004503456085)-π/2
    2×1.45188629128114-π/2
    2.90377258256228-1.57079632675     		φ = 1.33297626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74423203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.937134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33297626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.373914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14575 KachelY 10607 -1.74423203 1.33297626 -99.937134 76.373914
    Oben rechts KachelX + 1 14576 KachelY 10607 -1.74413616 1.33297626 -99.931641 76.373914
    Unten links KachelX 14575 KachelY + 1 10608 -1.74423203 1.33295367 -99.937134 76.372620
    Unten rechts KachelX + 1 14576 KachelY + 1 10608 -1.74413616 1.33295367 -99.931641 76.372620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33297626-1.33295367) × R
    2.25899999999335e-05 × 6371000     		dl = 143.920889999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33297626-1.33295367) × R
    2.25899999999335e-05 × 6371000     		dr = 143.920889999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74423203--1.74413616) × cos(1.33297626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235584611405292 × 6371000     		do = 143.892199446551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74423203--1.74413616) × cos(1.33295367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235606565523478 × 6371000     		du = 143.905608753441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33297626)-sin(1.33295367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235584611405292-0.235606565523478)×R²
    abs(-1.74413616--1.74423203)×2.19541181861183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19541181861183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19541181861183e-05×40589641000000     		ar = 20710.0583491241m²